이상적분 · Hong-Iron

요약

끝이 없는 구간이나, 값이 한없이 커지는 점이 있는 구간에서의 적분이다. 끝을 유한한 곳에서 잘라 적분한 뒤, 자르는 곳을 한없이 밀어 극한을 본다. 무한히 긴 꼬리도 충분히 빨리 얇아지면 넓이가 유한하다. 하지만 거리에 반비례하는 곡선처럼 느리게 얇아지면 넓이가 무한대가 되고, 이 경계를 모르면 발산하는 적분에 공식을 기계적으로 넣는 실수를 한다.

예시로 보기

\(y = \frac{1}{x^2}\)과 \(y = \frac1x\)은 둘 다 \(x\)가 커지면 0으로 간다. \(x = 1\)부터 \(t\)까지의 넓이를 비교한다.

\(t\)	\(\int_1^t \frac{dx}{x^2} = 1 - \frac1t\)	\(\int_1^t \frac{dx}{x} = \ln t\)
10	0.9	2.30
1,000	0.999	6.91
\(10^6\)	0.999999	13.8

\(\frac{1}{x^2}\)은 넓이가 1로 모이고, \(\frac1x\)은 느리지만 끝없이 자란다. 앞의 것을 “수렴한다”, 뒤의 것을 “발산한다”고 한다. 자른 곳 \(t\)가 아래 정의의 극한 변수다.

왼쪽에서 두 곡선은 모두 0으로 내려가지만, \(\frac{1}{x^2}\)이 훨씬 빨리 얇아진다. 오른쪽은 표를 \(t\)마다 이어 그린 것이다. 가로축이 로그 눈금이라 \(\ln t\)는 곧은 직선으로 끝없이 오르고, \(1 - \frac1t\)은 점선 1 아래에 눕는다¹.

정의

무한 구간: \(\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty}\int_a^t f(x)\,dx\)(\(\lim\)은 한없이 가까이 갈 때 다가가는 값(극한)).
끝점에서 값이 한없이 커질 때(\(a\)에서): \(\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+}\int_t^b f(x)\,dx\).
극한이 유한하면 수렴, 아니면 발산한다.
양쪽이 모두 무한이거나 가운데에 문제점이 있으면 둘로 나누고, 두 조각이 모두 수렴할 때만 전체가 수렴한다: \(\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{c} f + \int_{c}^{\infty} f\).
²

p-적분

\(\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}\)는 \(p > 1\)일 때 \(\frac{1}{p - 1}\)로 수렴하고, \(p \le 1\)이면 발산한다. \(\int_0^1 \frac{dx}{x^p}\)는 거꾸로 \(p < 1\)일 때 \(\frac{1}{1 - p}\)로 수렴하고, \(p \ge 1\)이면 발산한다.

증명

\(p \ne 1\)이면 \(\int_1^t x^{-p}dx = \frac{t^{1-p} - 1}{1 - p}\). \(t \to \infty\)에서 \(t^{1-p}\)은 \(p > 1\)이면 0으로, \(p < 1\)이면 무한대로 간다. \(p = 1\)이면 \(\ln t \to \infty\). \([0, 1]\) 쪽은 \(t \to 0^+\)에서 같은 계산이다. ∎

비교 판정

\(0 \le f(x) \le g(x)\)이면, \(\int_a^\infty g\)가 수렴할 때 \(\int_a^\infty f\)도 수렴하고, \(\int_a^\infty f\)가 발산할 때 \(\int_a^\infty g\)도 발산한다.

넓이가 유한한 영역 안에 들어가는 영역은 넓이가 유한하다는 뜻이다. 누적 함수 \(\int_a^t f\)가 증가하고 \(\int_a^\infty g\)로 위가 막혀 있어 수렴한다(단조 수렴).

예제

가우스 함수의 꼬리. \(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\)가 수렴하는지 본다. 원시함수는 기본 함수로 쓸 수 없다.

조각내기: \([0, 1]\)은 보통 정적분(연속함수)이라 유한하다.
비교할 함수 찾기: \(x \ge 1\)이면 \(x^2 \ge x\)라 \(e^{-x^2} \le e^{-x}\).
비교: \(\int_1^\infty e^{-x}dx = e^{-1}\)로 수렴하므로 \(\int_1^\infty e^{-x^2}dx\)도 수렴한다.

flowchart TD
    A["이상적분이 주어진다"] --> B["끝없는 끝과 값이 터지는 점마다 잘라 조각으로 나눈다"]
    B --> C{"조각의 원시함수를 식으로 쓸 수 있나"}
    C -- "예" --> D["유한한 곳에서 잘라 적분하고 극한을 본다"]
    C -- "아니오" --> E["음이 아닌 함수면 크기를 아는 함수와 비교한다"]
    D --> F{"모든 조각이 수렴하나"}
    E --> F
    F -- "예" --> G["전체가 수렴한다"]
    F -- "하나라도 발산" --> H["전체가 발산한다"]

예제는 원시함수를 쓸 수 없어 비교로 가는 갈래다. 마지막 갈림, 곧 조각 하나만 발산해도 전체가 발산한다는 것이 아래 오해의 핵심이다³.

실제 값은 \(\frac{\sqrt\pi}{2}\)이고, 이 값은 극좌표로 바꾼 중적분으로 구한다(중적분과 변수변환).

검증: 예시 표의 값, p-적분의 값(\(p = 0.5, 2, 3\))과 발산(\(p = 1\)), 비교 판정의 예와 \(\frac{\sqrt\pi}{2}\)(수치 적분), 카드의 값, 오해의 대칭 극한과 두 조각의 발산 — 15_improper-integrals_verify.py

활용

확률분포. 확률밀도는 전체 넓이가 1이어야 한다. 지수분포 \(\lambda e^{-\lambda x}\)(\(x \ge 0\))는 \(\int_0^\infty\lambda e^{-\lambda x}dx = 1\)이다. 정규분포의 넓이 1은 가우스 적분 \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt\pi\)에서 나온다(정규분포).
꼬리가 두꺼운 분포. 파일 크기나 웹 트래픽처럼 꼬리가 \(x^{-p}\) 모양으로 얇아지는 분포는 \(p\)에 따라 평균이 무한대가 될 수 있다. 평균이 있으려면 \(\int^\infty x\cdot x^{-p}dx\)가 수렴해야 하고, p-적분에 따라 \(p > 2\)가 필요하다⁴.
급수 판정. 합 \(\sum \frac{1}{n^p}\)(\(\sum\)은 차례로 모두 더한다는 기호)의 수렴을 같은 모양의 적분으로 판정한다(급수의 수렴의 적분 판정).

연결

선수: 치환적분, 부분적분(예: \(\int_0^\infty xe^{-x}dx = 1\)), 로피탈 정리(끝값의 극한 \(te^{-t} \to 0\))
이어지는 개념: 급수의 수렴, 합 ↔ 적분

자주 하는 오해

”\(\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx\)는 대칭이라 0이다”

틀렸다. \(\int_{-t}^{t}x\,dx = 0\)이 모든 \(t\)에서 맞으니 극한도 0처럼 보인다. 하지만 정의는 두 조각 \(\int_{-\infty}^0 x\,dx\)와 \(\int_0^\infty x\,dx\)가 각각 수렴하기를 요구하고, 둘 다 발산한다. 대칭으로 자르는 방식만 특별히 0이 나오는 것이다. \(\int_{-t}^{2t}x\,dx = \frac{3t^2}{2}\)처럼 자르는 방식을 바꾸면 무한대로 간다.

확인 문제

C1 \(\int_0^\infty x e^{-x}\,dx\)를 극한까지 포함해 구하라.

답: 부분적분으로 \(\int_0^t xe^{-x}dx = \big[-xe^{-x} - e^{-x}\big]_0^t = 1 - te^{-t} - e^{-t}\). \(t \to \infty\)에서 \(te^{-t} \to 0\)(로피탈)이라 값은 1.

C2 다음 중 수렴하는 것을 고르라. (가) ∫₁^∞ dx/x (나) ∫₁^∞ dx/x^1.01 (다) ∫₀^1 dx/√x (라) ∫₀^1 dx/x²

답: (나)와 (다). p-적분에서 \([1, \infty)\)는 \(p > 1\), \((0, 1]\)은 \(p < 1\)이어야 수렴한다. (나)는 \(p = 1.01\)로 \(\frac{1}{0.01} = 100\), (다)는 \(p = \frac12\)로 2. (가)는 \(p = 1\), (라)는 \(p = 2\)라 발산한다.

C3 대칭 극한 \(\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f\)는 유한한데 \(\int_{-\infty}^{\infty} f\)는 발산하는 예를 들라.

답: \(f(x) = x\). 대칭 극한은 늘 0이지만 \(\int_0^\infty x\,dx\)가 발산해 전체는 발산이다.

15_improper-integrals_plot.py로 그렸고, 표의 값(\(t = 10, 1000, 10^6\)에서 \(1 - \frac1t\)과 \(\ln t\))과 \(\int_1^{10}\frac{dx}{x^2} = 0.9\)(중점 합)를 같은 코드로 확인했다. ↩
OpenStax, Calculus Volume 2, 3.7절 “Improper Integrals”(무한 구간, 불연속 피적분함수, 비교 판정). ↩
정의 절(조각으로 나누고 두 조각이 모두 수렴할 때만 전체가 수렴), 비교 판정, 예제의 풀이 순서를 근거로 그렸다. ↩
파레토 분포(꼬리 \(x^{-p}\) 모양의 밀도)의 평균이 \(p > 2\)에서만 유한하다는 것은 p-적분에서 바로 나온다. 인터넷 트래픽의 꼬리가 두껍다는 관찰은 Crovella & Bestavros(1997, IEEE/ACM Transactions on Networking 5(6))가 대표적이다. 웹 전송 크기의 꼬리가 지수 약 1.06인 파레토 분포로 잘 맞았다. 이 지수는 “\(x\)보다 클 확률”의 지수라 밀도로는 약 2.06이고, 위 판정대로 평균은 유한하지만 분산은 무한하다. ↩