실험에서 나올 수 있는 결과를 빠짐없이 모은 목록이 표본공간이고, 그중 관심 있는 결과들의 묶음이 사건이다. 사건을 집합으로 보면 “또는”, “그리고”, “아니다”가 각각 합집합, 교집합, 여집합이 되어 말로 된 확률 문제를 기계적으로 옮길 수 있다. 다만 결과를 어떤 단위로 적느냐가 중요하다. 너무 뭉뚱그려 적으면 결과마다 가능성이 달라져서, 뒤에서 “경우의 수 나누기 전체”로 세는 계산이 틀어진다.
예시로 보기
주사위 두 개를 던진다. 결과를 (첫 주사위, 둘째 주사위)의 순서쌍으로 적으면 \(6 \times 6 = 36\)개이고, 모두 똑같이 그럴듯하다. “합이 7”은 \((1,6), (2,5), \dots, (6,1)\)의 6개 결과를 묶은 사건이다.
같은 실험을 “두 눈의 합”만 적어 \(\{2, 3, \dots, 12\}\)로 쓸 수도 있다. 틀린 표본공간은 아니지만, 합 2는 \((1,1)\) 하나뿐이고 합 7은 결과 6개가 모인 것이라 가능성이 다르다. 순서쌍 하나하나가 아래 정의의 결과 \(\omega\), 순서쌍 36개의 모음이 \(\Omega\), “합이 7”이 사건 \(A \subseteq \Omega\)(\(\subseteq\)는 “~에 모두 들어 있다(부분집합)”)다.
정의
실험의 표본공간 \(\Omega\)는 일어날 수 있는 모든 결과 \(\omega\)의 집합이다. 결과는 서로 겹치지 않고, 실험을 하면 정확히 하나가 나온다. 사건은 \(\Omega\)의 부분집합이다. 실제로 나온 결과가 \(A\)에 속하면 “사건 \(A\)가 일어났다”고 한다1.
말과 집합 연산은 이렇게 대응한다(집합).
| 말 | 집합 | 예(주사위 두 개) |
|---|---|---|
| \(A\) 또는 \(B\) | \(A \cup B\) | 합이 7 또는 두 눈이 같음 |
| \(A\) 그리고 \(B\) | \(A \cap B\) | 합이 8이고 첫 주사위가 3 |
| \(A\)가 아니다 | \(A^c = \Omega \setminus A\) | 합이 7이 아님 |
| \(A\)와 \(B\)는 함께 일어날 수 없다(배반) | \(A \cap B = \emptyset\) | 합이 2와 합이 12 |
| \(A\)가 일어나면 \(B\)도 일어난다 | \(A \subseteq B\) | 두 눈이 모두 6 ⊆ 합이 짝수 |
서로 배반이면서 합치면 \(\Omega\)가 되는 사건들을 \(\Omega\)의 분할이라 한다. 드모르간 법칙 \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\), \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)는 “적어도 하나”를 “모두 아님”의 반대로 바꿀 때 쓴다.
설계 이유. 결과가 “정확히 하나 나온다”는 조건 덕분에, 확률을 결과들에 나눠 주고 사건의 확률을 그 합으로 정할 수 있다(확률의 공리). 표본공간이 무한할 수도 있다. “앞면이 나올 때까지 던지기”는 \(\{H, TH, TTH, \dots\}\)로 셀 수 있게 무한하고, “대기 시간”은 \([0, \infty)\)로 셀 수 없게 무한하다2.
예제
서버 세 대의 장애. 서버마다 정상(0)·다운(1)이면 \(\Omega = \{0, 1\}^3\), 결과 8개다. \(A_i\)를 “서버 \(i\)가 다운”이라 하자.
- 말을 집합으로: “적어도 한 대 다운”은 \(A_1 \cup A_2 \cup A_3\).
- 드모르간: 그 여사건은 \((A_1 \cup A_2 \cup A_3)^c = A_1^c \cap A_2^c \cap A_3^c\), 곧 “모두 정상”이다.
- 세기: “모두 정상”은 결과 \((0, 0, 0)\) 하나이고, “적어도 한 대 다운”은 나머지 7개다.
“적어도 하나”를 직접 세면 경우가 많지만 여사건은 하나뿐이다. 확률 계산에서 가장 자주 쓰는 요령이다.
연결
- 선수: 집합(연산과 드모르간 법칙)
- 이어지는 개념: 확률의 공리와 계산(사건에 수를 붙인다)
확인 문제
C1 동전을 세 번 던지는 실험의 표본공간을 쓰고, “앞면이 정확히 두 번”인 사건을 원소로 나열하라.
답: \(\Omega = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}\), 8개. 사건은 \(\{HHT, HTH, THH\}\).
C2 \(A_i\) = “서버 \(i\)가 다운”일 때 “서버 1은 정상이고, 서버 2와 3 중 적어도 하나는 다운”을 집합 기호로 쓰라.
답: \(A_1^c \cap (A_2 \cup A_3)\).
C3 주사위 두 개의 표본공간을 \(\{2, 3, \dots, 12\}\)로 잡고 “합이 7일 확률 \(= \frac{1}{11}\)“이라 하면 왜 틀리는가?
답: “경우의 수 ÷ 전체”는 결과들이 똑같이 그럴듯할 때만 맞다. 합 7은 순서쌍 6개, 합 2는 1개가 모인 결과라 가능성이 다르다. 순서쌍 36개로 세면 \(\frac{6}{36} = \frac16\)이다.