둘 다 “서로 상관없다”는 느낌이라 자주 섞어 쓰지만, 뜻은 거의 반대다. 가르는 질문은 이렇다. 두 사건이 함께 일어날 수 있는가(배반은 불가능), 한쪽 소식이 다른 쪽 확률을 바꾸는가(독립은 바꾸지 않음). 배반이면 확률을 더하고, 독립이면 곱한다1.

어느 쪽일까

C1 주사위를 한 번 던질 때 “짝수가 나옴”과 “홀수가 나옴”은 배반인가, 독립인가?

답: 배반이고 독립이 아니다. 둘이 함께 일어날 수 없다. 오히려 “짝수”를 알면 “홀수”의 확률은 \(\frac12\)에서 0으로 떨어져, 정보가 확률을 크게 바꾼다.

C2 주사위 두 개를 던질 때 “첫째가 짝수”와 “둘째가 짝수”는 배반인가, 독립인가?

답: 독립이고 배반이 아니다. \((2, 4)\)처럼 함께 일어날 수 있고, \(P(\text{둘 다}) = \frac14 = \frac12 \cdot \frac12\)이다.

C3 \(P(A) = 0.3\), \(P(B) = 0.4\)다. \(A\)와 \(B\)가 배반일 때와 독립일 때 각각 \(P(A \cup B)\)는?

답: 배반이면 겹침이 없어 \(0.3 + 0.4 = 0.7\). 독립이면 \(P(A \cap B) = 0.12\)라 \(0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58\).

C4 확률이 양수인 두 사건이 배반이면서 동시에 독립일 수 있는가?

답: 없다. 배반이면 \(P(A \cap B) = 0\)인데, 독립이려면 \(P(A)P(B) = 0\)이어야 해서 한쪽 확률이 0이어야 한다. 직관으로는 “\(A\)가 일어났다”는 소식이 “\(B\)는 절대 안 일어났다”를 알려 주므로, 배반인 사건은 서로에 대한 정보가 가장 많은 사건이다.

검증: 카드의 네 판단과 값, 원소 6개 표본공간의 모든 사건 쌍에서 “확률이 양수이고 배반이면 독립이 아님” — 05_independent-vs-disjoint_verify.py

결정적 차이

  배반 독립
정의 \(A \cap B = \emptyset\) (사건의 모양) \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\) (확률의 성질)
확인 방법 표본공간에서 겹치는 결과가 있는지 본다 확률을 계산해 곱과 비교한다
“함께 일어날” 확률 0 \(P(A)P(B)\)
“또는”의 확률 \(P(A) + P(B)\) \(P(A) + P(B) - P(A)P(B)\)
한쪽 소식이 주는 정보 최대(“다른 쪽은 안 일어났다”) 없음
대표 상황 한 번의 실험에서 서로 다른 결과 서로 다른 실험, 따로 도는 장비

판단을 돕는 질문은 이렇다.

  • 한 번의 실험인가, 여러 번인가? 한 번의 실험에서 나올 수 있는 서로 다른 결과는 배반이다. 따로 하는 실험의 결과는 보통 독립으로 모델링한다.
  • “또는”인가, “그리고”인가? “또는”을 더하기로 계산하려면 배반이 필요하고, “그리고”를 곱하기로 계산하려면 독립이 필요하다.

둘 다 아닐 때

  • 대부분의 사건 쌍은 배반도 독립도 아니다. 그때는 \(P(A \cap B)\)를 따로 구해 포함-배제로 합집합을 구하거나, 곱셈 법칙 \(P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)\)로 교집합을 구한다.
  • 확률을 모르고 위쪽 한계만 필요하면 합집합 한계 \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\)를 쓴다. 배반이 아니어도 맞는다.

  1. Blitzstein, Hwang, Introduction to Probability 2판, 1.6절(배반 사건의 덧셈 공리), 2.5절 “Independence of events”(독립과 배반을 혼동하지 말라는 주의). ↩