셋 다 “독립인 시도에서 성공을 센다”는 이야기에서 나와 헷갈린다. 가르는 질문은 무엇을 세는가다. 정해진 횟수 안의 성공 수면 이항, 첫 성공까지 걸린 시도 수면 기하, 정해진 시간·공간 안에서 드물게 일어나는 사건 수(시도 횟수를 따로 정할 수 없음)면 포아송이다1.
어느 쪽일까
C1 다음 각각에 맞는 분포는? (가) 패킷 100개 중 손실된 개수 (나) 첫 손실이 날 때까지 보낸 패킷 수 (다) 1분 동안 도착한 요청 수
답: (가) 이항 \(\mathrm{Bin}(100, p)\): 시도 수가 100으로 정해져 있고 성공 수를 센다. (나) 기하: 끝나는 시점이 첫 성공이고 시도 수를 센다. (다) 포아송: 시간 구간이 정해져 있고 “시도 횟수”라는 것이 따로 없다.
C2 가능한 비밀번호 \(N\)개 중 하나가 정답이다. (가) 매번 무작위로 하나를 골라 추측하고 같은 것을 다시 고를 수도 있을 때 (나) 한 번 틀린 것은 다시 고르지 않을 때, 맞힐 때까지의 추측 수의 분포와 평균은?
답: (가) 매번 성공 확률 \(\frac1N\)인 독립 시도라 기하분포, 평균 \(N\). (나) 시도들이 독립이 아니다. 정답이 \(N\)개 자리 중 어디에 올지가 똑같은 확률이라 \(1, \dots, N\)의 균등분포, 평균 \(\frac{N + 1}{2}\). 기하분포라고 하면 틀린다.
C3 서비스에서 치명적 오류 로그가 하루 평균 2건 나온다. 오류가 하루 종일 없을 확률과 5건 이상일 확률을 어림하라.
답: 포아송 \(\lambda = 2\). \(P(0) = e^{-2} \approx 0.135\), \(P(X \ge 5) = 1 - \sum_{k=0}^{4}\frac{e^{-2}2^k}{k!} \approx 0.053\). 오류들이 독립으로 드물게 일어난다는 가정 아래서다.
C4 1000명 중 오늘이 생일인 사람 수는 이항인가, 포아송인가?
답: 정확히는 이항 \(\mathrm{Bin}(1000, \frac{1}{365})\)이다. \(n\)이 크고 \(p\)가 작아 포아송 \(\lambda = \frac{1000}{365} \approx 2.74\)로 잘 어림된다. 아무도 없을 확률은 이항으로 0.0643, 포아송으로 0.0646이다.
결정적 차이
| 이항 \(\mathrm{Bin}(n, p)\) | 기하(시행 수) | 포아송 \(\mathrm{Pois}(\lambda)\) | |
|---|---|---|---|
| 세는 것 | 정해진 \(n\)번 중 성공 수 | 첫 성공까지의 시행 수 | 정해진 구간의 사건 수 |
| 끝나는 조건 | \(n\)번 다 하면 | 성공하면 | 구간이 끝나면 |
| 값의 범위 | \(0, \dots, n\) (상한 있음) | \(1, 2, \dots\) | \(0, 1, 2, \dots\) |
| 평균 | \(np\) | \(\frac1p\) | \(\lambda\) |
| 분산 | \(np(1 - p)\) (평균보다 작음) | \(\frac{1 - p}{p^2}\) | \(\lambda\) (평균과 같음) |
| 모수가 뜻하는 것 | 시도 수와 성공 확률 | 성공 확률 | 구간당 평균 발생 수 |
판단을 돕는 질문은 이렇다.
- 시도 횟수가 미리 정해져 있는가? 그렇다면 이항. 성공이 날 때 멈춘다면 기하.
- 시도라는 단위가 자연스러운가? “1초 동안의 요청”처럼 시도를 셀 수 없고 평균 발생률만 알면 포아송.
- 분산과 평균의 관계: 자료의 분산이 평균과 비슷하면 포아송, 확실히 작으면 이항 쪽을 의심한다.
둘 다 아닐 때
- 비복원 추출: 정해진 모집단에서 되돌려 놓지 않고 뽑은 개수는 초기하분포다(이항분포의 해당하지 않는 예).
- \(r\)번째 성공까지: 기하분포를 \(r\)개 더한 음이항분포다.
- 몰려서 일어나는 사건: 평균이 시간마다 흔들리면 분산이 평균보다 커진다(과대산포). 평균이 0.5와 5.5 사이를 오가는 포아송을 섞으면 분산이 평균의 약 3배가 된다. 이런 자료에는 음이항분포 같은 더 넓은 모델을 쓴다.
flowchart TD
B["베르누이 시행: 성공 확률 p"] -->|"정해진 n번의 성공 수"| Bin["이항 Bin(n, p)"]
B -->|"첫 성공까지의 시행 수"| G["기하"]
G -->|"r개를 더함"| NB["음이항: r번째 성공까지"]
Bin -.->|"n→∞, np = λ 고정"| P["포아송 Pois(λ)"]
Bin -.->|"n이 클 때 표준화"| N["정규 근사"]
H["초기하: 비복원 추출"] -.->|"모집단이 뽑는 수보다 훨씬 클 때"| Bin
P -->|"같은 과정의 사건 사이 간격"| E["지수 Exp(λ)"]
G -.->|"연속 시간판"| E
실선은 같은 시행이나 과정에서 무엇을 세느냐로 갈라지는 관계이고, 점선은 극한·근사·연속판으로 옮겨 가는 관계다.2