기하 변환의 종류

요약

도형을 옮기고 돌리고 늘이는 변환은 “무엇을 그대로 두는가”로 나뉜다. 길이까지 지키면 강체 변환, 모양(각)만 지키면 닮음 변환, 평행만 지키면 아핀 변환, 곧은 선만 지키면 사영 변환이다. 뒤로 갈수록 더 많은 변환이 들어가지만 지켜 주는 성질은 줄어든다. 그래서 어떤 계산을 변환 뒤에도 믿을 수 있는지는 변환의 종류에 달려 있다.

예시로 보기

정사각형 그림 하나에 네 가지 변환을 해 본다.

변환	그림	그대로인 것	바뀌는 것
회전·평행이동	같은 정사각형이 다른 자리에서 기울어짐	길이, 각, 넓이	위치, 방향
고르게 2배	두 배 큰 정사각형	각(모양)	길이, 넓이
전단	옆으로 밀린 평행사변형	평행, 넓이	각, 길이
원근	먼 쪽이 좁은 사다리꼴	곧은 선	평행, 비

원근 그림에서 \(x = \pm1\)인 두 평행선은 거리 \(z = 1\)에서 폭 2, \(z = 3\)에서 폭 \(\frac23\)으로 보인다. 평행선이 좁아진다¹.

점선이 원래 정사각형이다. 오른쪽으로 갈수록 모양이 더 많이 바뀌고, 그대로 남는 성질은 줄어든다. 전단에서는 직각이 34°로 눕고, 원근에서는 평행하던 두 변이 먼 쪽으로 갈수록 좁아진다².

검증: 강체·닮음·전단·아핀 변환에서 무작위 점 300세트로 길이·각·중점·평행 판정, 원근의 폭, 카드 C2 — 03_transformation-classes_verify.py

정의

변환해도 바뀌지 않는 성질을 불변량이라 한다. 변환을 가르는 데 쓰는 성질은 다음과 같다.

위치(원점에서의 거리), 거리(두 점 사이), 각(두 선 사이), 방향(절대 각)
곧은 선을 곧은 선으로 보냄(공선성)
거리를 지킴: 그러면 각, 넓이, 부피도 지킨다
각을 지킴(등각)

2차원 변환을 \(x' = ax + by + t_x\), \(y' = cx + dy + t_y\)로 쓴다. \((x, y)\)는 원래 좌표, \((x', y')\)는 변환 뒤 좌표, \((t_x, t_y)\)는 평행이동이다. 행렬 \(M = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\)의 조건이 종류를 가른다.

종류	조건	지키는 것	예
강체(등거리) 변환	\(M^\top = M^{-1}\), \(\det M = \pm1\)	거리, 각, 넓이	평행이동, 회전, 반사
닮음 변환	\(M = kM_0\), \(M_0M_0^\top = I\), \(\det M_0 = \pm1\)	각(모양), 길이의 비	강체 변환 + 고른 확대
전단	\(x\) 방향: \(a = d = 1\), \(b = k\), \(c = 0\)	넓이(\(\det M = 1\)), 평행	축 방향으로 좌표에 비례해 밀기
아핀 변환	\(\det M \ne 0\)	곧은 선, 평행, 한 선 위 길이의 비	위 모두 + 축마다 다른 확대

\(k\)는 확대 배율이다. 닮음 변환에서 길이는 모두 \(k\)배가 된다.

종류들은 포함 관계를 이룬다. 강체 ⊂ 닮음 ⊂ 아핀 ⊂ 사영이다. 선형변환(원점을 지키는 \(\mathbf x' = M\mathbf x\))은 회전, 고른 확대, 축별 확대, 전단을 포함하지만 평행이동은 포함하지 않는다. 원근 투영은 아핀이 아니고 사영 변환에만 들어간다.

flowchart TD
    P["사영 변환: 곧은 선만 지킨다"] --> A["아핀 변환: 평행도 지킨다"]
    P --> PP["예: 원근 투영"]
    A --> S["닮음 변환: 각도 지킨다"]
    A --> AE["예: 전단, 축마다 다른 확대"]
    S --> R["강체 변환: 거리도 지킨다"]
    S --> SE["예: 고른 확대"]
    R --> RE["예: 평행이동, 회전, 반사"]

위로 갈수록 들어가는 변환이 많고, 아래로 갈수록 지키는 성질이 하나씩 늘어난다. 아래 칸의 변환은 모두 그 위 칸에도 들어간다.

가역 선형변환은 연립방정식 \(\mathbf x' = M\mathbf x\)에서 \(\vert M\vert \ne 0\)일 때 역변환이 하나로 정해진다. 평행이동을 더한 \(\mathbf x' = M\mathbf x + \mathbf t\)가 아핀 변환이다.

활용

아핀 변환은 중점을 중점으로 보낸다. 그래서 삼각형을 아핀 변환한 뒤 무게중심을 구하든, 무게중심을 변환하든 같다. 원근 투영에서는 이것이 깨진다. 3D 그래픽스가 원근 보정 텍스처 매핑을 따로 하는 이유다¹.
흔한 실수: 아핀 변환 뒤에도 각이 그대로라고 믿는 것. 전단 하나로 직각이 약 34°가 된다(검증 코드, \(k = 1.5\)).

연결

선수: 선형변환, 행렬식(\(\vert M\vert\)의 뜻: 넓이 배율)
평행이동까지 행렬 하나로: 동차 좌표
사영 변환의 예: 평행 투영과 원근 투영

확인 문제

C1 강체, 닮음, 아핀 변환의 행렬 조건과 각각이 지키는 성질을 쓰라.

답: 강체: \(M^\top M = I\), \(\vert M\vert = \pm1\), 거리·각·넓이. 닮음: \(M = kM_0\)(\(M_0\)는 직교 행렬), 각과 길이의 비. 아핀: \(\vert M\vert \ne 0\), 곧은 선·평행·한 선 위 길이의 비.

C2 \(M = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}\)은 어떤 종류의 변환이고, 무엇을 하는가?

답: \(M = 2\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)이고 괄호 안은 90° 회전(직교 행렬)이다. 그래서 닮음 변환이다. 90° 돌리고 2배로 늘린다.

C3 전단은 넓이를 지킨다. 그런데 왜 강체 변환이 아닌가?

답: 강체 변환은 거리를 지켜야 한다. 전단은 \(\vert M\vert = 1\)이라 넓이는 그대로지만, 정사각형의 변이 비스듬히 늘어나 길이와 각이 바뀐다. 넓이를 지키는 것은 거리를 지키는 것보다 약한 조건이다.

검증 코드로 확인했다. ↩ ↩²
03_transformation-classes_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음 값을 확인했다: 회전·평행이동 뒤 변의 길이 1, 고르게 2배 뒤 직각, 전단 \(k = 1.5\)에서 각 33.7°, 원근의 폭 2와 \(\frac23\). ↩