비행기의 자세를 “왼쪽으로 몇 도, 위로 몇 도, 옆으로 몇 도 기울었다”처럼 각도 세 개로 적는 방법이다. 어떤 3차원 회전이든 축 회전 세 번의 곱으로 만들 수 있어서 사람이 읽고 입력하기 쉽다. 그러나 가운데 회전이 90°가 되면 나머지 두 회전이 같은 축을 돌게 되어 자유도 하나를 잃는다(짐벌 잠금). 같은 자세를 나타내는 각도 묶음이 여러 개라, 두 자세 사이를 각도로 보간하면 이상한 길로 돌 수도 있다.
예시로 보기
카메라를 \(x\)축으로 \(\alpha\), \(y\)축으로 \(\beta\), \(z\)축으로 \(\gamma\) 순서로 돌린다: \(X' = R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)X\).
\(\beta = 90°\)로 두면 \(R_y\)가 \(z\)축을 \(x\)축 자리로 눕힌다. 그 뒤로는 첫 회전(\(x\)축)과 마지막 회전(\(z\)축)이 같은 축을 돈다. 실제로 \((\alpha, \gamma) = (10°, 40°)\)와 \((0°, 30°)\)는 같은 회전이다. 둘 다 \(\gamma - \alpha = 30°\)이기 때문이다. 다이얼은 세 개인데 실제로 움직일 수 있는 방향은 두 개뿐이다1.
정의
아무 회전이나 세 축의 회전을 차례로 곱해 나타낼 수 있다. 순서가 다르면 결과가 다르다. 오일러 각은 기본 회전 세 번으로 임의의 회전을 나타내는 세 각이다. 축을 고르는 조합은 여러 가지다.
| 방식 | 식 | 뜻 |
|---|---|---|
| Z-X-Z | \(X' = R_zR_xR_zX\) | \(z\)축, 새 \(x\)축, 새 \(z\)축 순서 |
| Z-X-Y | \(X' = R_yR_xR_zX\) | \(z\)축, \(x\)축, \(y\)축 순서 |
가장 오른쪽 행렬이 먼저 작용한다. 같은 세 각이라도 방식이 다르면 다른 회전이다.
짐벌 잠금. 한 축의 회전이 다른 축의 회전을 덮어써서 자유도 하나를 잃는다. 예를 들어 X-Y-Z 순서에서 \(y\)축을 90° 돌리면 \(z\)축이 \(x\)축과 겹친다. 식으로는 \(\beta = 90°\)일 때 \(R_z(\gamma)R_y(90°)R_x(\alpha)\)가 \(\gamma - \alpha\)에만 달려 있다1.
보간 문제. 두 자세 사이를 이어 움직이고 싶을 때 각도를 그대로 보간하면 매끄럽지 않을 수 있다. 같은 자세를 나타내는 각도 묶음이 여럿이기 때문이다. 예를 들어 Z-X-Z에서 \((\phi, \theta, \psi)\)와 \((\phi + 180°, -\theta, \psi + 180°)\)는 같은 자세다. 어느 묶음을 쓰느냐에 따라 보간의 중간 자세가 달라진다1.
활용
- 비행기·드론의 요(yaw, 좌우), 피치(pitch, 위아래), 롤(roll, 옆 기울기)이 오일러 각이다. Unity 같은 게임 엔진의 인스펙터도 회전을 오일러 각으로 보여 주지만, 안에서는 쿼터니언으로 저장한다1.
- 흔한 실수: 다른 프로그램에서 받은 오일러 각을 축 순서를 확인하지 않고 쓰는 것. Z-X-Z와 Z-X-Y는 같은 숫자로 다른 자세를 만든다.
연결
확인 문제
C1 오일러 각이 무엇이고, Z-X-Z 방식의 식은? 오일러 각의 두 문제는?
답: 기본 회전 세 번으로 임의의 회전을 나타내는 세 각. Z-X-Z는 \(X' = R_zR_xR_zX\). 문제는 짐벌 잠금(자유도 하나를 잃음)과 보간이 매끄럽지 않음.
C2 \(X' = R_z(\gamma)R_y(90°)R_x(\alpha)X\)에서 \((\alpha, \gamma) = (10°, 40°)\)와 같은 회전이 되는 \(\alpha = 0°\)일 때의 \(\gamma\)는?
답: \(\gamma - \alpha\)만 남으므로 \(40° - 10° = 30°\). \(\gamma = 30°\).
C3 짐벌 잠금에서 “자유도 하나를 잃는다”는 것은 무슨 뜻인가?
답: 가운데 회전이 90°가 되면 첫 회전 축과 마지막 회전 축이 같은 방향이 된다. 그러면 두 다이얼을 돌려도 같은 축으로만 돌아, 세 다이얼로 만들 수 있는 회전 방향이 셋에서 둘로 준다. 남은 한 방향으로는 그 자세에서 바로 돌릴 수 없다.