요약

직선은 “한 점에서 출발해 한 방향으로 \(u\)만큼 가기”로, 평면은 “한 점을 지나고 한 방향(법선)에 수직인 점들”로 적는다. 이렇게 벡터로 적으면 2차원과 3차원에서 같은 식을 쓰고, 선분은 \(u\)를 0과 1 사이로 묶기만 하면 된다. 식에 점을 넣어 나온 값의 부호로 그 점이 어느 쪽에 있는지도 바로 안다. 다만 컴퓨터의 계산에는 작은 오차가 끼므로 “정확히 0인가”는 “충분히 0에 가까운가”로 바꿔 물어야 한다.

예시로 보기

고등학교에서 배운 \(y = mx + b\)는 수직선(\(x = 3\))을 적지 못한다. 기울기가 무한대라서다. 3차원에서는 \(y = mx + b\) 같은 식 하나로 직선을 적을 수도 없다.

대신 새 변수 \(u\)(매개변수)를 하나 두고 \(x\)와 \(y\)를 각각 \(u\)로 적는다. 예를 들어 \(x = u + 1\), \(y = 2u - 1\)에서 \(u\)에 값을 넣으면 점이 나온다.

\(u\) −1 0 0.5 1
\((x, y)\) \((0, -3)\) \((1, -1)\) \((1.5, 0)\) \((2, 1)\)

\(u\)가 1씩 늘 때마다 점이 \((1, 2)\)만큼 움직인다. 이 \((1, 2)\)가 직선의 방향이고, \(u = 0\)일 때의 점 \((1, -1)\)이 출발점이다.

검증: 두 예시 표, 세 점을 지나는 평면, 원점을 지나는 평면에서 실패, 직선과 평면의 교점과 평행 판정, 카드 C2 — 02_lines-planes_verify.py

정의

직선

직선은 서로 다른 두 점, 또는 한 점과 한 방향으로 하나로 정해진다. 출발점 \(\mathbf b\)와 방향 \(\mathbf a\)로 적으면 다음과 같다.

\[\mathbf x = \mathbf a u + \mathbf b, \qquad u \in \mathbb{R}\]

두 점 \(\mathbf p_0\), \(\mathbf p_1\)을 지나는 직선은 방향을 \(\mathbf p_1 - \mathbf p_0\)로 잡는다: \(\mathbf x = \mathbf p_0 + (\mathbf p_1 - \mathbf p_0)u\). \(u = 0\)이면 \(\mathbf p_0\), \(u = 1\)이면 \(\mathbf p_1\)이다.

선분은 \(u\)를 \([0, 1]\)로 묶은 것이다. 예를 들어 \(x = -4u + 1\), \(y = 3u + 2\), \(z = 5u - 3\)은 \((1, 2, -3)\)에서 \((-3, 5, 2)\)까지의 선분이다.

2차원에서 매개변수를 없애면 \(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\)(두 점을 지나는 직선)이나 \(ax + by + c = 0\) 꼴이 된다.

평면

평면은 한 직선 위에 있지 않은 세 점, 또는 한 점과 한 방향으로 정해진다. 그 방향이 법선 벡터다. 법선은 평면 위의 어떤 벡터와도 수직인 벡터다.

\[(\mathbf x - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad ax + by + cz + d = 0\]

\(\mathbf n = (a, b, c)\)이고 \(d = -\mathbf n\cdot\mathbf x_0\)이다. 평면 위의 점에서 \(\mathbf x_0\)로 가는 벡터는 평면 안에 있으니 법선과 내적하면 0이라는 뜻이다. 한 점과 평면 위의 두 방향 \(\mathbf u\), \(\mathbf w\)로 적으면 \(\mathbf x = \mathbf x_0 + s\mathbf u + t\mathbf w\)이고, 법선은 \(\mathbf u \times \mathbf w\)다.

세 점을 지나는 평면은 \(ax + by + cz + d = 0\)을 \(d\)로 나눈 \(a'x + b'y + c'z + 1 = 0\)에 세 점을 넣어 미지수 세 개의 연립방정식으로 푼다. 세 점이 \((a, 0, 0)\), \((0, b, 0)\), \((0, 0, c)\)이면 답은 \(\frac xa + \frac yb + \frac zc = 1\)이다. 이 방법은 \(d \ne 0\)일 때만 통한다. 평면이 원점을 지나면 \(d = 0\)이라 나눌 수 없고, 연립방정식의 해가 없다1.

점이 어디 있나

\(f(x, y) = ax + by + c\)로 두면 점 \(\mathbf p\)에 대해 다음과 같다.

  • \(f(\mathbf p) = 0\)이면 \(\mathbf p\)는 직선 위에 있다.
  • 두 점에서 \(f\)의 부호가 같으면 두 점은 같은 쪽에 있다.
  • 부호가 다르면 두 점은 서로 다른 쪽에 있다.

평면 \(ax + by + cz + d\)에서도 똑같다. 매개변수 직선 \(\mathbf x = \mathbf a u + \mathbf b\) 위에 점 \(\mathbf p\)가 있는지는 축마다 \(u_x = \frac{p_x - b_x}{a_x}\)를 구해 셋이 같은지로 본다. 방향 \(\mathbf a\)에 0인 성분이 있으면 그 축은 나눌 수 없으므로, 그 축에서는 \(p_x = b_x\)인지를 대신 본다1. 컴퓨터에서는 반올림 오차가 있어 같음을 \(\vert u_x - u_y\vert < \varepsilon\)처럼 작은 허용 오차 \(\varepsilon \ll 1\)로 판정한다.

직선과 평면이 만나는 점

직선 \(\mathbf x = \mathbf a u + \mathbf b\)를 평면 \((\mathbf x - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n = 0\)에 넣으면 \(u\)에 대한 일차방정식이 된다.

\[u = -\frac{(\mathbf b - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n}{\mathbf a\cdot\mathbf n}\]
  • \(\mathbf a\cdot\mathbf n \ne 0\): 한 점에서 만난다.
  • \(\mathbf a\cdot\mathbf n = 0\)이고 \((\mathbf b - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n = 0\): 직선이 평면 안에 있다.
  • \(\mathbf a\cdot\mathbf n = 0\)이고 \((\mathbf b - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n \ne 0\): 평행해서 만나지 않는다.

선분이면 구한 \(u\)가 \([0, 1]\) 안에 있는지도 확인한다. 예: 직선 \(\mathbf x = (1, 1, 1)u\)와 평면 \(z = 2\)는 \(u = 2\), 점 \((2, 2, 2)\)에서 만난다1.

flowchart TD
    A["직선 방향 a, 출발점 b와 평면 x0, n"] --> B{"a·n = 0 인가?"}
    B -->|"아니오"| C["u = -(b - x0)·n / (a·n)"]
    C --> D{"선분인가?"}
    D -->|"아니오"| E["한 점에서 만난다"]
    D -->|"예"| F{"0 ≤ u ≤ 1 인가?"}
    F -->|"예"| E
    F -->|"아니오"| G["선분은 평면에 닿지 않는다"]
    B -->|"예"| H{"(b - x0)·n = 0 인가?"}
    H -->|"예"| I["직선이 평면 안에 있다"]
    H -->|"아니오"| J["평행해서 만나지 않는다"]

먼저 \(\mathbf a\cdot\mathbf n\)으로 갈래를 나누고, 선분일 때만 \(u\)의 범위를 한 번 더 본다. 왼쪽 갈래만 교점을 계산한다.

활용

  • 그래픽스의 광선 추적은 화면의 각 픽셀에서 광선(직선)을 쏘아 장면의 평면·삼각형과 만나는 \(u\) 중 가장 작은 양수를 찾는다. 위의 교점 공식이 그 첫 단계다1.
  • 흔한 실수: 부동소수점 계산 결과를 == 0으로 비교하는 것. 허용 오차로 비교한다.

연결

확인 문제

C1 두 점을 지나는 직선과 선분, 한 점과 법선으로 정한 평면의 벡터 식을 쓰라.

답: 직선 \(\mathbf x = \mathbf p_0 + (\mathbf p_1 - \mathbf p_0)u\), 선분은 \(u \in [0, 1]\). 평면 \((\mathbf x - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n = 0\).

C2 \((1, 2, -3)\)에서 \((-3, 5, 2)\)까지의 선분의 중점을 매개변수로 구하라.

답: \(u = 0.5\)를 넣으면 \((-4\cdot0.5 + 1,\ 3\cdot0.5 + 2,\ 5\cdot0.5 - 3) = (-1, 3.5, -0.5)\).

C3 직선과 평면의 교점 공식에서 \(\mathbf a\cdot\mathbf n = 0\)이면 왜 “평행”인가?

답: 직선의 방향 \(\mathbf a\)가 법선에 수직이라는 뜻이다. 그러면 \(\mathbf a\)는 평면과 나란한 방향이다. 직선을 따라 움직여도 평면까지의 거리가 바뀌지 않는다. 그래서 처음부터 평면 위에 있거나(\((\mathbf b - \mathbf x_0)\cdot\mathbf n = 0\)), 영원히 만나지 않는다.

C4 세 점을 지나는 평면을 \(a'x + b'y + c'z + 1 = 0\)에 넣어 푸는 방법이 실패하는 세 점을 들라.

답: \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\), \((1, 1, 0)\). 이 평면은 \(z = 0\)으로 원점을 지나 \(d = 0\)이다. 세 식 \(a' = -1\), \(b' = -1\), \(a' + b' = -1\)이 모순이라 해가 없다.

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩ ↩2 ↩3 ↩4