사용 개념: 동차 좌표의 평행이동 행렬과 곱하는 순서.

“여러 변환을 행렬 하나로”는 같은 하위목표의 되풀이다. ① 순서 정하기: 말로 일어나는 순서대로 변환을 적는다 ② 행렬 쓰기: 변환마다 \(3 \times 3\) 행렬 ③ 곱하기: 먼저 일어나는 것을 가장 오른쪽에 두고 곱한다 ④ 확인: 점에 적용하거나 특별한 점(중심, 고정점)이 제대로 가는지 본다.

문제 1 · 완전한 풀이

점 \((1, 1)\)을 중심으로 2배 확대하는 행렬을 만들고 점 \((3, 2)\)에 적용하라.

  1. 순서 정하기: 중심을 원점으로 옮김 → 2배 확대 → 원래 자리로.
  2. 행렬 쓰기: \(T(-1, -1)\), \(S(2) = \mathrm{diag}(2, 2, 1)\), \(T(1, 1)\).
  3. 곱하기: \(H = T(1, 1)\,S(2)\,T(-1, -1) = \begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
  4. 확인: \(H(3, 2, 1)^\top = (5, 3, 1)^\top\). 중심에서 \((2, 1)\) 떨어진 점이 \((4, 2)\) 떨어진 곳으로 갔다. 중심 \((1, 1)\)은 \(H(1, 1, 1)^\top = (1, 1, 1)^\top\)로 그대로다.
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문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

점 \((2, 0)\)을 중심으로 90° 돌리는 행렬을 만들고 점 \((3, 0)\)에 적용하라.

  1. 순서 정하기: \((2, 0)\)을 원점으로 → 90° 회전 → 되돌리기.
  2. 행렬 쓰기: \(T(-2, 0)\), \(R_{90} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\), \(T(2, 0)\).
  3. 곱하기: \(H = T(2, 0)\,R_{90}\,T(-2, 0) = \begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\ 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).
  4. 확인: __
답

\(H(3, 0, 1)^\top = (0 - 0 + 2,\ 3 + 0 - 2,\ 1) = (2, 1, 1)\). 중심의 오른쪽 1에 있던 점이 중심의 위쪽 1로 갔다(반시계 90°). 중심 \((2, 0)\)은 그대로다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

직선 \(y = 1\)에 대해 반사한 다음 \((3, 0)\)만큼 옮기는 행렬을 만들고 점 \((1, 4)\)에 적용하라.

  1. 순서 정하기: __
  2. 행렬 쓰기: \(T(0, -1)\), \(F_x = \mathrm{diag}(1, -1, 1)\), \(T(0, 1)\), \(T(3, 0)\).
  3. 곱하기: __
  4. 확인: \((4, -2)\).
답
  1. 직선 \(y = 1\)을 \(x\)축으로 내림 → \(x\)축 반사 → 다시 올림 → \((3, 0)\) 이동.
  2. 반사 부분 \(T(0, 1)F_xT(0, -1) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\), 곧 \(y \to 2 - y\). 맨 왼쪽에 \(T(3, 0)\)을 곱해 \(H = \begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). \((1, 4) \to (1 + 3, -4 + 2) = (4, -2)\).

문제 4 · 독립 문제

점을 원점 중심으로 90° 돌린 뒤 \((1, 2)\)만큼 옮기는 행렬 \(H\)와 그 역행렬 \(H^{-1}\)을 구하라. \(H\)로 옮긴 점 \((3, 4)\)가 \(H^{-1}\)로 되돌아오는지 확인하라.

답

\(H = T(1, 2)R_{90} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). \(H(3, 4) = (-4 + 1, 3 + 2) = (-3, 5)\).
역행렬은 거꾸로 되돌린다: 먼저 \((-1, -2)\) 이동, 다음 \(-90°\) 회전. \(H^{-1} = R_{-90}T(-1, -2) = \begin{pmatrix}0 & 1 & -2\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). \(H^{-1}(-3, 5) = (5 - 2, 3 + 1) = (3, 4)\)로 돌아온다.

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