사용 개념: 임의 축 회전의 로드리게스 공식 \(P' = P\cos\theta + (A \times P)\sin\theta + A(A\cdot P)(1 - \cos\theta)\).
하위목표는 넷이다. ① 축을 단위 벡터로: \(A\)를 길이로 나눈다 ② 축 성분: \(A\cdot P\)와 \(A(A\cdot P)\) ③ 수직 방향: \(A \times P\) ④ 합치기: 세 항에 \(\cos\theta\), \(\sin\theta\), \(1 - \cos\theta\)를 곱해 더한다.
문제 1 · 완전한 풀이
축 \((0, 0, 2)\)를 중심으로 점 \((1, 1, 1)\)을 90° 돌려라.
- 축을 단위 벡터로: \(A = (0, 0, 1)\). 길이 2로 나누는 것을 잊으면 틀린다.
- 축 성분: \(A\cdot P = 1\), \(A(A\cdot P) = (0, 0, 1)\).
- 수직 방향: \(A \times P = (0\cdot1 - 1\cdot1,\ 1\cdot1 - 0\cdot1,\ 0) = (-1, 1, 0)\).
- 합치기: \(\cos90° = 0\), \(\sin90° = 1\)이라 \(P' = (0, 0, 0) + (-1, 1, 0) + (0, 0, 1)\cdot1 = (-1, 1, 1)\). \(z\)는 그대로이고 \((x, y) = (1, 1)\)이 90° 돌아 \((-1, 1)\)이 되었다.
문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸
\(x\)축을 중심으로 점 \((1, 2, 3)\)을 180° 돌려라.
- 축을 단위 벡터로: \(A = (1, 0, 0)\).
- 축 성분: \(A\cdot P = 1\), \(A(A\cdot P) = (1, 0, 0)\).
- 수직 방향: \(A \times P = (0, -3, 2)\).
- 합치기: __
답
\(\cos180° = -1\), \(\sin180° = 0\), \(1 - \cos = 2\). \(P' = -(1, 2, 3) + 0 + 2(1, 0, 0) = (1, -2, -3)\). \(x\)는 그대로, \(y\)와 \(z\)의 부호가 바뀐다.
문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸
축 \((1, 1, 0)\)을 중심으로 점 \((1, 0, 0)\)을 90° 돌려라.
- 축을 단위 벡터로: __
- 축 성분: \(A\cdot P = \frac{1}{\sqrt2}\), \(A(A\cdot P) = (\frac12, \frac12, 0)\).
- 수직 방향: __
- 합치기: \((\frac12, \frac12, -\frac{1}{\sqrt2})\).
답
- \(A = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1, 0)\).
- \(A \times P = \frac{1}{\sqrt2}(1\cdot0 - 0\cdot0,\ 0\cdot1 - 1\cdot0,\ 1\cdot0 - 1\cdot1) = (0, 0, -\frac{1}{\sqrt2})\).
- \(\cos = 0\), \(\sin = 1\)이라 \((0, 0, -\frac{1}{\sqrt2}) + (\frac12, \frac12, 0)\). 길이는 \(\frac14 + \frac14 + \frac12 = 1\)로 그대로다.
문제 4 · 독립 문제
\(y\)축을 중심으로 점 \((1, 0, 0)\)을 90° 돌린 결과를 로드리게스 공식으로 구하고, 기본 회전 행렬 \(R_y(90°)\)로 구한 결과와 비교하라.
답
\(A = (0, 1, 0)\), \(A\cdot P = 0\), \(A \times P = (0, 0, -1)\). \(P' = 0 + (0, 0, -1) + 0 = (0, 0, -1)\).
\(R_y(90°) = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)이라 \((1, 0, 0) \to (0, 0, -1)\)로 같다. \(R_y\)가 \(z \to x\)로 보내므로 \(x \to -z\)다.