요약

3차원에서는 \(x\), \(y\), \(z\)축을 중심으로 도는 회전은 쉽지만, 비스듬한 축을 중심으로 돌리는 것은 바로 쓰기 어렵다. 한 방법은 축을 \(x\)축으로 눕히고, \(x\)축으로 돌리고, 다시 세우는 다섯 단계다. 다른 방법은 점을 “축 방향 부분”과 “축에 수직인 부분”으로 나눠, 수직인 부분만 원을 따라 돌리는 공식(로드리게스 공식) 하나다. 두 방법은 같은 답을 내지만, 3차원 회전은 순서를 바꾸면 결과가 달라진다.

예시로 보기

정육면체를 한 꼭짓점과 맞은편 꼭짓점을 잇는 대각선 축 \((1, 1, 1)\)로 120° 돌리면, \(x\)축 방향이 \(y\)축으로, \(y\)축이 \(z\)축으로, \(z\)축이 \(x\)축으로 간다. 세 축이 대각선 축 둘레에 고르게 120°씩 떨어져 있기 때문이다.

\(z\)축으로 90° 돌리는 것 같은 기본 회전으로는 이 결과를 한 번에 쓸 수 없다. 축이 비스듬하기 때문이다1.

검증: 세 기본 회전의 방향, 순서 바꾸면 다름, 무작위 축·각 300개에서 다섯 단계 = 로드리게스 공식, 예시의 120° 회전, 축 성분·길이 보존, 단위 벡터가 아니면 틀림, 카드 C2 — 08_axis-rotation_verify.py

정의

기본 회전. 오른손 좌표계에서 축을 바라보는 쪽(양의 방향)에서 볼 때 반시계 방향이 양의 각이다. 2차원 회전은 \(z\)축 회전과 같다.

\[R_x(\theta) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}, \quad R_y(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{pmatrix}, \quad R_z(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

90°로 확인하면 \(R_z\)는 \(x \to y\), \(R_x\)는 \(y \to z\), \(R_y\)는 \(z \to x\)로 보낸다. \(R_y\)만 \(\sin\)의 부호 자리가 다른 것은 이 순환(\(x \to y \to z \to x\)) 때문이다1.

다섯 단계 방법

원점을 지나는 축 \(A\)를 중심으로 \(\theta\)만큼 돌린다.

  1. \(z\)축을 중심으로 돌려 \(A\)를 \(xz\) 평면에 놓는다. \(\alpha\)는 \(A\)를 \(xy\) 평면에 내린 그림자 \(A_{xy}\)와 \(x\)축 사이의 각이다(\(R_\alpha\)).
  2. \(y\)축을 중심으로 \(\beta\)만큼 돌려 \(A\)를 \(x\)축에 맞춘다. \(\beta\)는 \(R_\alpha A\)와 \(x\)축 사이의 각이다(\(R_\beta\)).
  3. \(x\)축을 중심으로 \(\theta\)만큼 돌린다(\(R_\theta\)).
  4. \(y\)축을 중심으로 \(-\beta\)만큼 돌린다.
  5. \(z\)축을 중심으로 \(-\alpha\)만큼 돌린다.
\[X' = R_\alpha^{-1}R_\beta^{-1}R_\theta R_\beta R_\alpha X\]

축이 원점을 지나지 않으면 앞뒤에 평행이동을 하나씩 더한다(동차 좌표).

로드리게스 공식

\(A\)가 단위 벡터일 때, 점 \(P\)를 \(A\) 방향 부분(사영)과 \(A\)에 수직인 부분으로 나눈다.

\[P = \underbrace{(A\cdot P)A}_{\text{축 방향, 돌려도 그대로}} + \underbrace{P - (A\cdot P)A}_{\text{축에 수직, 원을 따라 돈다}}\]

수직인 부분은 축에 수직인 평면에서 2차원 회전을 한다. 그 평면의 두 축은 수직 부분 자신과, 그것을 90° 돌린 \(A \times P\)다. 둘의 길이는 같다: \(\vert P - (A\cdot P)A\vert = \vert P\vert \sin\alpha = \vert A \times P\vert\).

\[P' = P\cos\theta + (A \times P)\sin\theta + A(A\cdot P)(1 - \cos\theta)\] 
flowchart LR
    P["점 P"] --> PA["축 방향 부분 (A·P)A"]
    P --> PP["수직 부분 P - (A·P)A"]
    P --> AX["A × P: 수직 부분을 90° 돌린 것"]
    PP --> RT["cos θ, sin θ로 섞어 θ만큼 돌리기"]
    AX --> RT
    PA --> S["더하기"]
    RT --> S
    S --> Q["P'"]

점을 두 갈래로 나눈 뒤 수직 부분만 돌리고, 축 방향 부분은 그대로 다시 더한다.

유도 과정

수직 부분을 \(\theta\)만큼 돌리면 \(\big[P - (A\cdot P)A\big]\cos\theta + (A \times P)\sin\theta\) (2차원 회전의 \(\cos\), \(\sin\) 섞기)

축 방향 부분 \((A\cdot P)A\)를 더하면 \(P\cos\theta + (A \times P)\sin\theta + (A\cdot P)A(1 - \cos\theta)\)

스스로 설명해 보기

1. 다섯 단계에서 \(R_\theta\)가 꼭 \(x\)축 회전인 이유

1·2단계가 축 \(A\)를 \(x\)축에 맞춰 놓았기 때문이다. 이제 “\(A\)를 중심으로 돌리기”가 “\(x\)축을 중심으로 돌리기”와 같다.

2. 4·5단계가 \(R_\beta^{-1}\), \(R_\alpha^{-1}\)이고 순서가 거꾸로인 이유

1·2단계로 옮긴 것을 되돌려야 한다. 마지막에 한 것(\(R_\beta\))부터 먼저 되돌린다. \((R_\beta R_\alpha)^{-1} = R_\alpha^{-1}R_\beta^{-1}\)이다.

3. 로드리게스 공식에서 \(A\)가 단위 벡터여야 하는 이유

사영 \((A\cdot P)A\)는 \(\vert A\vert = 1\)일 때만 \(A\) 방향 부분이다. \(\vert A\vert = 2\)이면 사영이 4배가 되고, \(A \times P\)의 길이도 2배가 되어 원을 따라 돌지 않는다.

이 방법의 핵심 아이디어는?

어려운 문제(비스듬한 축)를 쉬운 문제(좌표축)로 옮겨 풀고 되돌리거나, 벡터를 돌지 않는 부분과 도는 부분으로 나눈다.

이 방법을 쓸 수 있는 다른 상황은?

점 \(P\)를 중심으로 하는 2차원 회전(동차 좌표), 임의의 직선·평면에 대한 반사(반사와 반전), 대각화(\(P^{-1}AP\)로 쉬운 좌표에서 계산).

예제

\(z\)축으로 90°, \(P = (2, 0, 5)\).

  • 목표 1, 나누기: \(A\cdot P = 5\)라 축 방향 부분 \((0, 0, 5)\), 수직 부분 \((2, 0, 0)\).
  • 목표 2, 수직 부분 돌리기: \(A \times P = (0, 2, 0)\). \(\cos90° = 0\), \(\sin90° = 1\)이라 \((0, 2, 0)\).
  • 목표 3, 다시 더하기: \((0, 2, 5)\).

활용

  • 연습: 예제 사다리(완전한 풀이 → 빈칸 → 독립 문제)
  • 로봇 관절, 카메라를 물체 둘레로 돌리는 궤도 카메라처럼 “이 축을 중심으로 돌리기”가 자연스러운 곳에서 쓴다. 로드리게스 공식은 OpenCV의 Rodrigues 함수처럼 축-각 표현과 회전 행렬을 오갈 때 쓴다1.
  • 흔한 실수: 축 벡터를 정규화하지 않는 것. 또 3차원 기본 회전을 이어 붙일 때 순서를 바꾸는 것. \(R_xR_y \ne R_yR_x\)다.

연결

자주 하는 오해

“3차원 회전도 2차원처럼 어느 순서로 해도 결과가 같다”

틀렸다. 2차원 회전은 모두 같은 축(\(z\))을 써서 순서를 바꿔도 각을 더한 것과 같다. 3차원에서는 축이 다르면 바뀐다. \(x\)축으로 90°, \(y\)축으로 90° 돌린 결과와 순서를 바꾼 결과를 점 \((1, 0, 0)\)에 해 보면 \((0, 0, -1)\)과 \((0, 1, 0)\)으로 다르다(검증 코드). 책을 직접 돌려 봐도 확인된다.

확인 문제

C1 로드리게스 회전 공식을 쓰고, 조건을 밝혀라.

답: \(P' = P\cos\theta + (A \times P)\sin\theta + A(A\cdot P)(1 - \cos\theta)\). 축 \(A\)는 원점을 지나는 단위 벡터다.

C2 로드리게스 공식으로 \(z\)축을 중심으로 \((2, 0, 5)\)를 90° 돌려라.

답: \(A = (0, 0, 1)\), \(A\cdot P = 5\), \(A \times P = (0, 2, 0)\). \(P' = 0 + (0, 2, 0) + (0, 0, 5)(1 - 0) = (0, 2, 5)\).

C3 로드리게스 공식에서 축 방향 부분 \((A\cdot P)A\)가 회전 뒤에도 그대로인 이유는?

답: 축 위의 점은 축을 중심으로 돌아도 움직이지 않는다. 축 방향 부분은 축 위에 있으므로 그대로다. 그래서 수직 부분만 원을 따라 돌린 뒤 다시 더한다.

C4 다섯 단계 방법의 식 \(X' = R_\alpha^{-1}R_\beta^{-1}R_\theta R_\beta R_\alpha X\)를 말로 읽어라.

답: \(z\)축으로 돌려 축을 \(xz\) 평면에 놓고(\(R_\alpha\)), \(y\)축으로 돌려 \(x\)축에 맞추고(\(R_\beta\)), \(x\)축으로 \(\theta\) 돌린 뒤(\(R_\theta\)), \(y\)축 회전과 \(z\)축 회전을 그 순서로 되돌린다.

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩ ↩2 ↩3