요약

3차원 공간에서 “얼마나 떨어져 있나”와 “어디서 만나나”를 재는 공식 모음이다. 점과 직선의 거리는 직선 방향 그림자를 빼고 남은 수직 부분의 길이이고, 두 직선의 거리는 두 직선 위 점 사이 거리를 가장 작게 만드는 위치에서 잰다. 평면과의 계산은 법선과의 내적 하나로 거리와 어느 쪽인지를 함께 준다. 다만 법선이 단위 벡터가 아니면 내적 값이 실제 거리가 아니다.

예시로 보기

게임에서 총알이 날아가는 직선이 적의 몸통(점)을 얼마나 아깝게 비켜 갔는지, 두 로봇 팔이 서로 부딪히는지(두 직선의 거리), 공이 바닥 아래로 빠졌는지(점과 평면의 부호)를 매 프레임 계산한다.

\(x\)축과, \((0, 1, 0)\)을 지나 \(z\) 방향으로 뻗은 직선은 서로 만나지도 평행하지도 않는다(꼬인 위치). 두 직선에서 가장 가까운 점은 \((0, 0, 0)\)과 \((0, 1, 0)\)이고 거리는 1이다. 그 둘을 잇는 선분은 두 직선 모두에 수직이다1.

검증: 점과 직선의 거리를 무작위 100개에서 촘촘한 탐색과 비교, 예시, 무작위 50쌍에서 가장 짧은 선분이 두 직선에 수직, 평행이면 분모 0, 점-평면 부호와 단위 법선, 세 평면·두 평면의 교점, 카드 C2 — 12_distance-intersection_verify.py

정의

직선은 점 \(S\)와 방향 \(V\)로 \(S + tV\), 평면은 법선 \(N\)과 평면 위 점 \(P\)로 \(N\cdot(X - P) = 0\)이다. 평면을 \(L = \langle N, D\rangle = \langle N, -N\cdot P\rangle\) 한 묶음으로도 쓴다.

점과 직선

\(Q - S\)를 직선 방향으로 사영한 부분을 빼면 수직 부분이 남는다. 피타고라스 정리로 그 길이가 거리다.

\[d = \sqrt{\vert Q - S\vert ^2 - \frac{\big((Q - S)\cdot V\big)^2}{\vert V\vert ^2}}\]

두 직선

두 직선 \(S_1 + t_1V_1\), \(S_2 + t_2V_2\) 위 점 사이 거리의 제곱 \(f(t_1, t_2)\)를 가장 작게 하는 \(t_1, t_2\)를 찾는다. 최소인 곳에서 두 편미분이 0이다.

\[\begin{pmatrix}V_1\cdot V_1 & -V_1\cdot V_2\\ V_1\cdot V_2 & -V_2\cdot V_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t_1\\ t_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(S_2 - S_1)\cdot V_1\\ (S_2 - S_1)\cdot V_2\end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix}t_1\\ t_2\end{pmatrix} = \frac{1}{(V_1\cdot V_2)^2 - \vert V_1\vert ^2\vert V_2\vert ^2}\begin{pmatrix}-V_2\cdot V_2 & V_1\cdot V_2\\ -V_1\cdot V_2 & V_1\cdot V_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(S_2 - S_1)\cdot V_1\\ (S_2 - S_1)\cdot V_2\end{pmatrix}\]

두 직선이 평행하면 분모 \((V_1\cdot V_2)^2 - \vert V_1\vert ^2\vert V_2\vert ^2\)이 0이다(코시-슈바르츠 부등식의 등호). 이때는 한 직선 위의 아무 점과 다른 직선 사이의 거리(점과 직선)로 잰다.

flowchart TD
    A["두 직선 S1 + t1V1, S2 + t2V2"] --> B{"분모가 0인가? 곧 평행한가?"}
    B -->|"예"| C["S1과 둘째 직선 사이 거리를 점과 직선 공식으로"]
    B -->|"아니오"| D["2×2 연립방정식으로 t1, t2 구하기"]
    D --> E["두 점 S1 + t1V1, S2 + t2V2 사이 거리"]

먼저 평행인지 보고, 평행이면 점과 직선 문제로 넘긴다. 평행하지 않을 때만 \(t_1, t_2\)를 구한다.

점과 평면

\[d = N\cdot Q - N\cdot P = L\cdot Q \quad (Q \text{를 } (Q, 1)\text{로 보고})\]

\(d = 0\)이면 \(Q\)는 평면 위, \(d > 0\)이면 법선 쪽, \(d < 0\)이면 반대쪽이다. \(d\)가 실제 거리인 것은 \(\vert N\vert = 1\)일 때다. 그렇지 않으면 \(d\)를 \(\vert N\vert\)로 나눈다1.

교점

  • 직선과 평면. \(N\cdot(S + tV) + D = 0\)을 풀면 \(t = -\frac{N\cdot S + D}{N\cdot V}\)이다. \(N\cdot V = 0\)이면 평행이다.
  • 세 평면. 세 식 \(N_i\cdot Q = N_i\cdot P_i\)를 모으면 \(MQ = \mathbf b\)다. \(M\)은 행이 \(N_1^\top, N_2^\top, N_3^\top\)인 행렬이라 \(Q = M^{-1}\mathbf b\)다.
  • 두 평면. 교선의 방향은 두 법선에 모두 수직인 \(N_1 \times N_2\)다. 교선 위 한 점 \(Q\)는 셋째 식으로 “\(N_1 \times N_2\) 방향 성분이 0”을 더해 구한다.
\[Q = \begin{pmatrix}N_1\\ N_2\\ N_1 \times N_2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}N_1\cdot P_1\\ N_2\cdot P_2\\ 0\end{pmatrix}, \qquad X = Q + t(N_1 \times N_2)\]

활용

  • 충돌 판정(캡슐 두 개가 닿는지는 두 선분의 거리), 광선과 면의 교차, 마우스로 3D 물체를 집기(화면에서 쏜 광선과 물체의 거리)에 쓴다1.
  • 흔한 실수: 선분인데 직선 공식을 그대로 쓰는 것. 구한 \(t\)가 \([0, 1]\) 밖이면 끝점까지의 거리로 바꿔야 한다.

연결

확인 문제

C1 점과 직선의 거리, 점과 평면의 부호 있는 거리 공식을 쓰라.

답: \(d = \sqrt{\vert Q - S\vert ^2 - ((Q - S)\cdot V)^2/\vert V\vert ^2}\). 평면은 \(d = N\cdot Q - N\cdot P\), \(\vert N\vert = 1\)일 때 거리이고 부호는 법선 쪽이면 양수.

C2 점 \((2, 3, 4)\)와 직선 \((1, 0, 0) + t(0, 0, 2)\) 사이의 거리는?

답: \(Q - S = (1, 3, 4)\), \(\vert Q - S\vert ^2 = 26\), \(((Q - S)\cdot V)^2/\vert V\vert ^2 = 8^2/4 = 16\). \(d = \sqrt{10}\).

C3 두 직선 사이의 거리 공식에서 분모가 0이 되는 경우와 그 이유는?

답: 두 직선이 평행할 때. \((V_1\cdot V_2)^2 = \vert V_1\vert ^2\vert V_2\vert ^2\)는 코시-슈바르츠 부등식의 등호이고, 두 방향이 평행할 때만 맞다. 평행하면 어느 위치에서나 거리가 같아 가장 가까운 \(t_1, t_2\)가 하나로 정해지지 않는다.

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩ ↩2 ↩3