사용 개념: 룽게-쿠타 방법의 2차 RK(\(w_2 = \frac{1}{2a}\), \(w_1 = 1 - w_2\))와 RK4.
한 걸음의 하위목표는 넷이다. ① 첫 기울기: \(k_1 = f(x_i, y_i)\) ② 다음 기울기들: \(k_1\)로 짐작한 점에서 잰다 ③ 결합: 무게 평균 ④ 다음 점과 확인: \(y_{i+1} = y_i + h \times\)(평균 기울기), 참값이 있으면 비교한다.
문제 1 · 완전한 풀이
\(y' = y\), \(y(0) = 1\)에 RK4로 \(h = 0.1\) 한 걸음을 가라.
- 첫 기울기: \(k_1 = f(0, 1) = 1\).
- 다음 기울기들: \(k_2 = f(0.05, 1 + 0.05 \cdot 1) = 1.05\), \(k_3 = f(0.05, 1 + 0.05 \cdot 1.05) = 1.0525\), \(k_4 = f(0.1, 1 + 0.1 \cdot 1.0525) = 1.10525\).
- 결합: \(\frac16(1 + 2.1 + 2.105 + 1.10525) = \frac{6.31025}{6} \approx 1.0517083\).
- 다음 점과 확인: \(y_1 = 1 + 0.1 \times 1.0517083 = 1.1051708\). 참값 \(e^{0.1} = 1.1051709\)와 일곱째 자리까지 같다.
문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸
\(y' = -2y\), \(y(0) = 1\)에 중점 방법(\(a = \frac12\), \(w_1 = 0\), \(w_2 = 1\))으로 \(h = 0.1\) 한 걸음을 가라.
- 첫 기울기: \(k_1 = -2\).
- 다음 기울기들: 반 걸음 앞 \((0.05,\ 1 + 0.05 \cdot (-2)) = (0.05, 0.9)\)에서 \(k_2 = -1.8\).
- 결합: \(w_1k_1 + w_2k_2 = -1.8\).
- 다음 점과 확인: __
답
\(y_1 = 1 + 0.1 \times (-1.8) = 0.82\). 참값 \(e^{-0.2} \approx 0.8187\). 오일러였다면 \(1 - 0.2 = 0.8\)로 더 많이 빗나간다.
문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸
\(y' = x - y\), \(y(0) = 1\)에 호인 방법(\(a = 1\))으로 \(h = 0.2\) 한 걸음을 가라.
- 첫 기울기: __
- 다음 기울기들: \(k_2 = -0.6\).
- 결합: __
- 다음 점과 확인: \(y_1 = 0.84\). 참값 \(y = x - 1 + 2e^{-x}\)에서 \(y(0.2) \approx 0.8375\).
답
- \(k_1 = f(0, 1) = 0 - 1 = -1\). (\(k_2\)는 끝점 짐작 \((0.2,\ 1 + 0.2 \cdot (-1)) = (0.2, 0.8)\)에서 \(0.2 - 0.8 = -0.6\).)
- 호인은 \(w_1 = w_2 = \frac12\)이라 \(\frac{-1 + (-0.6)}{2} = -0.8\). \(y_1 = 1 + 0.2 \times (-0.8) = 0.84\).
문제 4 · 독립 문제
\(y' = y^2\), \(y(0) = 1\)에 랄스턴 방법(\(a = \frac34\))으로 \(h = 0.1\) 한 걸음을 가고, 참값 \(y = \frac{1}{1 - x}\)와 비교하라.
답
무게 \(w_2 = \frac{1}{2 \cdot 3/4} = \frac23\), \(w_1 = \frac13\). \(k_1 = 1\), \(k_2 = f(0.075,\ 1 + 0.075) = 1.075^2 = 1.155625\). 결합 \(\frac13 + \frac23 \times 1.155625 \approx 1.10375\). \(y_1 \approx 1.110375\). 참값 \(\frac{1}{0.9} \approx 1.111111\)과 0.0007 차이다.