곡선에서 \(u\) 하나로 점을 만들었듯, 곡면은 \(u\)와 \(v\) 두 개로 점을 만든다. 천 조각(패치)을 이어 붙이듯 큰 곡면을 작은 패치로 나눠 만든다. 패치를 만드는 방법은 곡선 방법을 두 방향으로 넓힌 것이다. 네 꼭짓점만 섞는 쌍선형, 에르미트를 두 방향으로 쓰는 쌍3차, 베지어 곡면, 스플라인 곡면이 있다. 방법마다 조절하기 쉬운 정도와, 점 하나를 옮겼을 때 어디까지 바뀌는지가 다르다.
예시로 보기
물체의 겉면을 나타내는 방법은 둘이다. 삼각형·사각형을 잔뜩 이어 붙인 폴리곤 메시와, 식으로 정확히 적는 곡면 패치다. 메시는 그리기 쉽지만 확대하면 각이 보인다. 패치는 얼마든지 확대해도 매끄럽다.
가장 단순한 패치는 네 꼭짓점 \(\mathbf P_{00} = (0, 0, 0)\), \(\mathbf P_{10} = (2, 0, 1)\), \(\mathbf P_{01} = (0, 2, 1)\), \(\mathbf P_{11} = (2, 2, 0)\)만으로 만든다. 먼저 \(v\) 방향 두 변에서 각각 비율 \(v\)인 점을 잡고, 그 두 점을 다시 비율 \(u\)로 잇는다. 가운데 \((u, v) = (\frac12, \frac12)\)는 네 꼭짓점의 평균 \((1, 1, \frac12)\)이다1.
파란 선은 \(u\)를, 주황 선은 \(v\)를 고정한 선이다. 이 선들은 모두 곧은 선인데, 면 전체는 말안장처럼 비틀린다. 네 꼭짓점이 한 평면 위에 있지 않기 때문이다2.
정의
곡면도 음함수로 \(f(x, y, z) = 0\)(평면 \(ax + by + cz + d = 0\), 구 \(x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0\))처럼 쓸 수 있다. 매개변수 곡면은 각 성분이 독립변수 둘 \(u\), \(v\)에 달린 \(\mathbf P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))\)다. 곡면을 여러 패치로 나누고 패치마다 매개변수 식을 둔다.
flowchart LR
L["선형 보간"] -->|"u, v 두 방향"| BL["쌍선형 곡면"]
H["에르미트 곡선"] -->|"u, v 두 방향"| BC["쌍3차 패치"]
Z["베지어 곡선"] -->|"u, v 두 방향"| BZ["베지어 곡면"]
S["B-스플라인"] -->|"u, v 두 방향"| SS["스플라인 곡면"]
왼쪽 곡선 방법을 \(u\)와 \(v\)에 한 번씩 쓰면 오른쪽 곡면 방법이 된다.
쌍선형 곡면
네 꼭짓점을 \(u\), \(v\) 두 방향으로 선형 보간한다.
\[\mathbf P(u, v) = (1 - u)(1 - v)\mathbf P_{00} + u(1 - v)\mathbf P_{10} + (1 - u)v\mathbf P_{01} + uv\mathbf P_{11}, \qquad 0 \le u, v \le 1\]네 꼭짓점만 정하면 된다. 하지만 경계가 직선이고 곡면이 대체로 평평하다.
쌍3차 패치
\(u\)와 \(v\) 각각에 대해 3차식이다. 성분마다 계수가 16개라 \(16 \times 3\)개 미지수에 식 16개(점으로)가 필요하다. 에르미트처럼 정한다.
- 꼭짓점 넷: \(\mathbf P(0, 0)\), \(\mathbf P(0, 1)\), \(\mathbf P(1, 0)\), \(\mathbf P(1, 1)\)
- 꼭짓점의 \(u\) 방향 접선 넷 \(\mathbf P_u\)와 \(v\) 방향 접선 넷 \(\mathbf P_v\)
- 꼬임 벡터 넷: \(\mathbf P_{uv} = \frac{\partial^2\mathbf P}{\partial u\,\partial v}\)
\(F_1..F_4\)를 에르미트 블렌딩 함수(\(1 - 3u^2 + 2u^3\), \(3u^2 - 2u^3\), \(u - 2u^2 + u^3\), \(-u^2 + u^3\))라 하면 다음과 같다.
\[\mathbf P(u, v) = \begin{pmatrix}F_1(u) & F_2(u) & F_3(u) & F_4(u)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf P(0,0) & \mathbf P(0,1) & \mathbf P_v(0,0) & \mathbf P_v(0,1)\\ \mathbf P(1,0) & \mathbf P(1,1) & \mathbf P_v(1,0) & \mathbf P_v(1,1)\\ \mathbf P_u(0,0) & \mathbf P_u(0,1) & \mathbf P_{uv}(0,0) & \mathbf P_{uv}(0,1)\\ \mathbf P_u(1,0) & \mathbf P_u(1,1) & \mathbf P_{uv}(1,0) & \mathbf P_{uv}(1,1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_1(v)\\ F_2(v)\\ F_3(v)\\ F_4(v)\end{pmatrix}\]경계 곡선이 에르미트 곡선이고 안쪽도 조절할 수 있다. 하지만 꼬임 벡터에 어떤 값을 줘야 할지, 그 효과가 어떤지 떠올리기 어렵다.
베지어 곡면
조절점 \((n + 1) \times (m + 1)\)개를 베른슈타인 다항식 두 방향으로 섞는다.
\[\mathbf P(u, v) = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\mathbf P_{i,j}B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)\]\(u = v = 0\)을 넣으면 \(B_{i,n}(0)\)은 \(i = 0\)일 때만 1이라 \(\mathbf P(0, 0) = \mathbf P_{0,0}\)이다. 꼭짓점을 지난다. \(u = 0\)을 넣으면 \(\mathbf P(0, v) = \sum_j\mathbf P_{0,j}B_{j,m}(v)\)로 가장자리가 베지어 곡선이다. 안쪽을 조절점으로 직관적으로 조절하고, 도함수도 같은 방법으로 계산한다. 그러나 국소 조절이 없다. 조절점 하나를 옮기면 곡면 전체가 바뀐다.
스플라인 곡면
스플라인 곡선을 두 방향으로 넓힌다. 조절점 \(4 \times 4\)를 행렬 \(P\)로 두면 다음과 같다.
\[\mathbf p(u, v) = \mathbf u^\top M_S\,P\,M_S^\top\mathbf v, \qquad \mathbf u = (1, u, u^2, u^3)^\top,\ \mathbf v = (1, v, v^2, v^3)^\top\]활용
- 자동차 차체와 항공기 날개 설계(CAD)에 베지어·스플라인 곡면이 쓰이고, 유타 찻주전자는 베지어 패치 32개로 만든 유명한 예다1.
- 흔한 실수: 쌍3차 패치의 꼬임 벡터를 아무 값으로 두는 것. 꼬임 벡터를 0으로 두면 꼭짓점 근처가 평평해지는 등 모양이 크게 바뀐다.
연결
- 선수: 에르미트 곡선(쌍3차), B-스플라인(스플라인 곡면), 다변수 함수와 편미분(꼬임 벡터)
- 베지어 곡면의 바탕: 추상 벡터공간과 베지어 곡선
- 곡면을 그리기: 베지어 곡선의 세분화
확인 문제
C1 쌍3차 패치를 정하는 16개 값은 무엇인가?
답: 네 꼭짓점의 위치, 꼭짓점마다 \(u\) 방향 접선 \(\mathbf P_u\)와 \(v\) 방향 접선 \(\mathbf P_v\), 꼭짓점마다 꼬임 벡터 \(\mathbf P_{uv}\). 4 × 4 = 16개.
C2 예시의 쌍선형 곡면에서 \(\mathbf P(\frac12, \frac12)\)는?
답: 네 무게가 모두 \(\frac14\)라 네 꼭짓점의 평균. \(\frac14((0,0,0) + (2,0,1) + (0,2,1) + (2,2,0)) = (1, 1, \frac12)\).
C3 곡면의 한 부분만 살짝 고치고 싶다. 베지어 곡면과 스플라인 곡면 중 무엇이 나은가? 다른 쪽은 왜 아닌가?
답: 스플라인 곡면. 조절점 하나는 근처 패치에만 영향을 준다. 베지어 곡면은 모든 베른슈타인 무게가 안쪽 어디서나 0보다 커서, 조절점 하나를 옮기면 곡면 전체가 바뀐다.
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17_surface-patches_plot.py로 그렸고, 같은 코드로 다음 값을 확인했다: 가운데 \((1, 1, \frac12)\), 꼭짓점 통과, \(u\)를 고정한 선 위의 가운데 점이 양 끝의 평균(곧은 선). ↩