사용 개념: 야코비 방법과 가우스-자이델 방법의 갱신식, 대각 우세, 멈추는 기준.
하위목표는 넷이다. ① 대각 우세 확인: 필요하면 행 순서를 바꾼다 ② 식마다 자기 변수로 풀기 ③ 한 회차 갱신: 야코비는 옛 값만, 가우스-자이델은 방금 고친 값을 바로 쓴다 ④ 멈춤 판정: 상대 변화 \(\left\vert \frac{x^{(k)} - x^{(k-1)}}{x^{(k)}}\right\vert\)을 허용 오차와 비교한다.
문제 1 · 완전한 풀이
\(3x + y = 5\), \(x + 2y = 5\)(참값 \((1, 2)\))를 \((0, 0)\)에서 가우스-자이델로 두 회차 돌려라.
- 대각 우세 확인: \(3 > 1\), \(2 > 1\). 그대로 쓴다.
- 자기 변수로 풀기: \(x = \frac{5 - y}{3}\), \(y = \frac{5 - x}{2}\).
- 한 회차 갱신: 1회차 \(x = \frac53\), 이 새 \(x\)로 \(y = \frac{5 - 5/3}{2} = \frac53\). 2회차 \(x = \frac{5 - 5/3}{3} = \frac{10}{9}\), \(y = \frac{5 - 10/9}{2} = \frac{35}{18} \approx 1.944\).
- 멈춤 판정: \(x\)의 상대 변화 \(\left\vert \frac{10/9 - 5/3}{10/9}\right\vert = 50\%\)라 아직 멈추지 않는다.
같은 1회차를 야코비로 하면 \(y = \frac{5 - 0}{2} = 2.5\)다. 옛 \(x = 0\)을 쓰기 때문이다.
문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸
\(4x - y = 2\), \(-x + 4y = 7\)(참값 \((1, 2)\))을 \((0, 0)\)에서 가우스-자이델로 두 회차 돌리고, 허용 오차 1%로 멈출지 판정하라.
- 대각 우세 확인: \(4 > 1\), \(4 > 1\).
- 자기 변수로 풀기: \(x = \frac{2 + y}{4}\), \(y = \frac{7 + x}{4}\).
- 한 회차 갱신: 1회차 \((0.5, 1.875)\), 2회차 \((0.96875, 1.9921875)\).
- 멈춤 판정: __
답
\(x\)의 상대 변화 \(\left\vert \frac{0.96875 - 0.5}{0.96875}\right\vert \approx 48.4\%\)로 1%보다 크다. 멈추지 않고 다음 회차로 간다.
문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸
\(x + 5y = 11\), \(4x + y = 6\)을 \((0, 0)\)에서 야코비로 두 회차 돌려라.
- 대각 우세 확인: __
- 자기 변수로 풀기: \(x = \frac{6 - y}{4}\), \(y = \frac{11 - x}{5}\).
- 한 회차 갱신: __
- 멈춤 판정: 참값 \((1, 2)\)에 다가가는 중이다.
답
- 쓰인 순서대로면 1행 \(\vert 1\vert < 5\)라 대각 우세가 아니다. 두 식을 바꿔 \(4x + y = 6\), \(x + 5y = 11\)로 쓰면 \(4 > 1\), \(5 > 1\)이다.
- 1회차(옛 값 \((0, 0)\)만 씀): \(x = 1.5\), \(y = 2.2\). 2회차(옛 값 \((1.5, 2.2)\)): \(x = \frac{6 - 2.2}{4} = 0.95\), \(y = \frac{11 - 1.5}{5} = 1.9\).
문제 4 · 독립 문제
(a) 문제 2의 계를 이완 계수 \(\lambda = 1.2\)인 가우스-자이델로 \((0, 0)\)에서 한 회차 돌려라. (b) \(x + 2y = 3\), \(2x + y = 3\)에 야코비를 \((0, 0)\)에서 네 회차 돌리면 어떻게 되는가? 이유는?
답
(a) \(x\): 새 값 0.5를 섞어 \(1.2 \times 0.5 + (-0.2) \times 0 = 0.6\). \(y\): 새 \(x = 0.6\)으로 \(\frac{7 + 0.6}{4} = 1.9\), 섞으면 \(1.2 \times 1.9 = 2.28\). 결과 \((0.6, 2.28)\). 참값 2를 넘는 \(y\)처럼 과이완은 한 걸음을 키운다.
(b) \((3, 3) \to (-3, -3) \to (9, 9) \to (-15, -15)\)로 발산한다. 대각이 1이고 나머지가 2라 대각 우세가 아니고, 오차가 회차마다 2배로 커진다. 참값은 \((1, 1)\)이다.