요약

복소수 하나(\(\cos\theta + i\sin\theta\))를 곱하면 평면에서 회전하듯, 숫자 네 개짜리 쿼터니언 하나로 3차원 회전을 나타낸다. 회전 축과 각을 그대로 담아 짐벌 잠금이 없고, 두 자세 사이를 공 표면을 따라 매끄럽게 이어 갈 수 있다. 대신 오일러 각보다 숫자를 보고 자세를 떠올리기 어렵다. 또 곱하는 순서를 바꾸면 결과가 달라진다.

예시로 보기

복소수 \(i\)를 곱하면 평면의 점이 90° 돈다. 3차원 회전에는 축이 필요하니 허수 단위를 셋(\(i, j, k\))으로 늘린다.

\(z\)축을 중심으로 90° 돌리는 쿼터니언은 \(q = \cos45° + k\sin45° = (\frac{\sqrt2}{2}, 0, 0, \frac{\sqrt2}{2})\)다. 각의 절반(45°)이 들어간다. 점 \((1, 0, 0)\)을 순허수 쿼터니언 \(0 + 1i + 0j + 0k\)로 두고 \(q\,v\,\bar q\)를 계산하면 \((0, 1, 0)\)이 나온다. \(z\)축으로 90° 돈 것이 맞다1.

검증: \(i, j, k\) 곱셈 규칙, 예시, 무작위 축·각 300개에서 \(qv\bar q\) = 로드리게스 공식 = 행렬 공식, \(q\)와 \(-q\)가 같은 회전, \(q_xq_yq_z \leftrightarrow R_xR_yR_z\), 곱의 순서, 카드 C2 — 10_quaternion_verify.py

정의

쿼터니언은 해밀턴이 복소수를 넓혀 만든 수로, 곱셈의 교환법칙이 통하지 않는다. 숫자 네 개 \(w + xi + yj + zk\)이고, \(i, j, k\)는 다음 규칙을 따르는 특별한 허수다.

\[i^2 = j^2 = k^2 = -1, \qquad ij = -ji = k, \quad jk = -kj = i, \quad ki = -ik = j\]

\(ij = k\)인데 \(ji = -k\)라 곱하는 순서가 중요하다. 이 규칙으로 두 쿼터니언을 분배해 곱한다(해밀턴 곱).

회전. 3차원의 어떤 회전이든 쿼터니언 \((w, x, y, z)\)로 나타낼 수 있다. 단위 벡터 \(\mathbf n\)을 축으로 \(\theta\)만큼 도는 회전은 다음 쿼터니언이다. 길이가 1이라 단위 쿼터니언이라 부른다.

\[q = \left(\cos\frac\theta2,\ \sin\frac\theta2\,\mathbf n\right)\]

축마다 쓰면 \(q_x = (\cos\frac\alpha2, \sin\frac\alpha2, 0, 0)\), \(q_y = (\cos\frac\beta2, 0, \sin\frac\beta2, 0)\), \(q_z = (\cos\frac\gamma2, 0, 0, \sin\frac\gamma2)\)다. 점 \(\mathbf v\)는 \((0, \mathbf v)\)로 두고 \(q\)와 켤레 \(\bar q = (w, -x, -y, -z)\)로 감싸 돌린다1.

\[\mathbf v' = q\,\mathbf v\,\bar q\]

오일러 각은 기본 회전 쿼터니언을 곱한다: \(q = q_xq_yq_z\)는 \(X' = R_xR_yR_zX\)와 같다. 쿼터니언을 회전 행렬로 바꾸는 식은 다음과 같다.

\[R_q = \begin{pmatrix}1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy\\ 2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx\\ 2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 - 2y^2\end{pmatrix}\] 
flowchart LR
    AA["축-각: 단위 축 n, 각 θ"] -->|"반각을 넣는다"| Q["단위 쿼터니언 q"]
    E["오일러 각 α, β, γ"] -->|"q_x q_y q_z 곱"| Q
    E -->|"R_x R_y R_z 곱"| M["3×3 회전 행렬"]
    Q -->|"R_q 공식"| M
    AA -->|"로드리게스 공식"| V["돌린 점 v'"]
    Q -->|"q와 켤레로 감싸 곱하기"| V
    M -->|"행렬 곱"| V

세 표현은 모두 같은 회전을 적는다. 화살표는 이 문서와 앞 두 문서가 주는 바꾸기 공식이고, 어느 길로 가도 같은 점 \(\mathbf v'\)에 닿는다.

보간. 단위 쿼터니언은 4차원 단위 구 위의 점이다. 두 회전 사이를 보간하는 것은 구 위의 두 점 사이를 잇는 것이다. 한 경로가 정해지고, 오일러 각보다 예측 가능하고 안정적이다. 구 위를 일정한 빠르기로 잇는 방법은 구면 선형 보간이다.

스스로 설명해 보기

1. \(q\)에 \(\theta\)가 아니라 \(\frac\theta2\)가 들어가는 이유

\(\mathbf v\)를 \(q\)와 \(\bar q\)로 양쪽에서 감싸 곱하므로 각이 두 번 들어간다. 반씩 두 번이라 합쳐서 \(\theta\)가 된다.

2. \(q\)와 \(-q\)가 같은 회전인 이유

\((-q)\mathbf v(\overline{-q}) = (-1)^2q\mathbf v\bar q = q\mathbf v\bar q\)이다. 부호가 두 번 곱해져 사라진다. 각으로 보면 \(\frac\theta2\)에 180°를 더한 것이라, \(\theta\)에 360°를 더한 같은 회전이다.

3. \(q = q_xq_yq_z\)가 \(R_xR_yR_z\)와 같은 이유

\(q\mathbf v\bar q = q_x\big(q_y(q_z\mathbf v\bar q_z)\bar q_y\big)\bar q_x\)이다. 곱의 켤레는 순서가 뒤집혀 \(\overline{q_xq_yq_z} = \bar q_z\bar q_y\bar q_x\)이기 때문이다. 가장 안쪽 \(q_z\)가 먼저 작용하니 행렬로 \(R_xR_yR_z\)다.

이 방법의 핵심 아이디어는?

회전을 “축 하나와 각 하나”로 직접 담는다. 축 세 개를 차례로 쓰는 오일러 각과 달리 축이 겹칠 일이 없다.

이 방법을 쓸 수 있는 다른 상황은?

복소수 \(e^{i\theta}\)로 2차원 회전을 하는 것(덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬)이 같은 구조의 2차원판이다.

활용

  • 게임 엔진(Unity의 Quaternion, Unreal의 FQuat), 로봇·드론의 자세 추정, 우주선 자세 제어에서 회전을 저장하고 보간하는 기본 표현이다1.
  • 숫자 네 개라 \(3 \times 3\) 행렬(아홉 개)보다 작다. 곱셈을 반복해 오차가 쌓이면 길이로 나눠 다시 단위로 맞추기만 하면 된다. 행렬은 다시 직교로 맞추기가 더 번거롭다1.
  • 흔한 실수: 각의 절반을 쓰지 않는 것. \(\cos\theta\)를 넣으면 두 배 돈다.

연결

자주 하는 오해

“쿼터니언 \(q\)와 회전은 일대일로 짝지어진다”

틀렸다. \(q\)와 \(-q\)는 같은 회전이다. 보간할 때 “두 회전 사이에 경로가 하나로 정해진다”는 말 때문에 쿼터니언도 하나뿐이라고 생각하기 쉽다. 실제로는 한 회전에 쿼터니언이 둘씩 있다. 그래서 두 쿼터니언을 보간할 때 내적이 음수이면 한쪽 부호를 뒤집어 짧은 쪽 길로 간다. 검증 코드에서 무작위 300개 모두 \(q\)와 \(-q\)가 같은 결과를 냈다.

확인 문제

C1 단위 벡터 \(\mathbf n\)을 축으로 \(\theta\) 도는 쿼터니언과, 점 \(\mathbf v\)를 돌리는 식을 쓰라.

답: \(q = (\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\,\mathbf n)\). \(\mathbf v' = q(0, \mathbf v)\bar q\), \(\bar q = (w, -x, -y, -z)\).

C2 \(x\)축으로 180° 도는 쿼터니언은? 이것으로 \((0, 1, 0)\)을 돌리면?

답: \(q = (\cos90°, \sin90°, 0, 0) = (0, 1, 0, 0)\), 곧 \(i\)다. \((0, 1, 0)\)은 \((0, -1, 0)\)이 된다.

C3 회전을 저장하고 두 자세를 매끄럽게 이어야 하는 게임 캐릭터에 오일러 각과 쿼터니언 중 무엇을 쓰나? 다른 쪽은 왜 아닌가?

답: 쿼터니언. 오일러 각은 가운데 각이 90°일 때 짐벌 잠금이 생기고, 같은 자세에 각도 묶음이 여럿이라 각도 보간이 이상한 길로 돌 수 있다. 사람이 숫자를 입력하는 편집 화면에서는 오일러 각이 읽기 쉬워 함께 쓴다.

C4 \(q\mathbf v\bar q\)에서 각이 반으로 들어가는 이유를 대라.

답: \(\mathbf v\)의 양쪽에서 \(q\)와 \(\bar q\)를 곱해, 축에 수직인 성분이 \(\frac\theta2\)씩 두 번 돈다. 그래서 \(q\)에는 \(\frac\theta2\)를 넣어야 전체가 \(\theta\)가 된다.

  1. 검증 코드로 확인했다. ↩ ↩2 ↩3 ↩4