3차원 벡터 두 개를 넣으면 둘 모두에 수직인 새 벡터 하나가 나오는 곱셈이다. 오른손 네 손가락을 첫 벡터에서 둘째 벡터 쪽으로 감으면 엄지가 그 방향이고, 길이는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이다. 평면의 수직 방향(법선)이나 삼각형 넓이를 한 번에 구할 수 있다. 다만 3차원에서만 정의되고, 순서를 바꾸면 방향이 뒤집힌다.
예시로 보기
책상 위에 삼각형 하나가 있다. 이 삼각형 면에 수직으로 선 방향을 알고 싶다. 내적은 두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 보는지 숫자 하나로만 알려 준다. 수직 방향을 직접 주지는 않는다.
삼각형의 세 꼭짓점이 \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\), \((0, 0, 1)\)이면 두 변은 \((-1, 1, 0)\), \((-1, 0, 1)\)이다. 두 변의 외적은 \((1, 1, 1)\)이다. 이 벡터가 삼각형 면에 수직이다. 길이 \(\sqrt3\)의 절반 \(\frac{\sqrt3}{2}\)가 삼각형의 넓이다1.
정의
두 3차원 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\), \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)의 외적은 다음 벡터다.
\[\mathbf a \times \mathbf b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)\]성분마다 나머지 두 축의 성분으로 \(2 \times 2\) 행렬식을 만든다. 첫 성분은 \(\begin{vmatrix}a_2 & a_3\\ b_2 & b_3\end{vmatrix}\)이다. 그래서 단위 벡터 \(\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\)를 첫 행에 넣은 \(3 \times 3\) 행렬식으로 외워도 된다.
\[\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}\]작은 예: \((1, 2, 3) \times (4, 5, 6) = (2\cdot6 - 3\cdot5,\ 3\cdot4 - 1\cdot6,\ 1\cdot5 - 2\cdot4) = (-3, 6, -3)\).
성질:
- \(\mathbf a \times \mathbf b\)는 \(\mathbf a\)와 \(\mathbf b\) 모두에 수직이다.
- 두 벡터가 평행하면 \(\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0\)이다.
- 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다: \(\mathbf a \times \mathbf b = -(\mathbf b \times \mathbf a)\).
- 방향은 오른손 법칙을 따른다: \(\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k\).
- 길이는 \(\vert \mathbf a \times \mathbf b\vert = \vert \mathbf a\vert \vert \mathbf b\vert \sin\theta\)이다. \(\theta\)는 두 벡터의 사잇각이다.
길이 공식은 \(\vert \mathbf a \times \mathbf b\vert ^2 = \vert \mathbf a\vert ^2\vert \mathbf b\vert ^2 - (\mathbf a\cdot\mathbf b)^2\)을 성분으로 전개해 확인할 수 있다. 오른쪽은 \(\vert \mathbf a\vert ^2\vert \mathbf b\vert ^2(1 - \cos^2\theta) = \vert \mathbf a\vert ^2\vert \mathbf b\vert ^2\sin^2\theta\)다1.
활용
- 법선 벡터. 세 점 \(\mathbf p, \mathbf q, \mathbf r\)을 지나는 평면의 법선은 \((\mathbf q - \mathbf p) \times (\mathbf r - \mathbf p)\)다. 그래픽스에서 삼각형 메시의 면마다 이 계산으로 조명용 법선을 만든다1.
- 넓이. 삼각형 넓이는 \(\frac12\vert (\mathbf q - \mathbf p) \times (\mathbf r - \mathbf p)\vert\)다.
- 꺾는 방향. 2차원 벡터에 \(z = 0\)을 붙여 외적하면 \(z\) 성분의 부호가 왼쪽으로 꺾는지(양수), 오른쪽으로 꺾는지(음수)를 알려 준다(계산 기하 기초).
- 흔한 실수: 법선의 방향이 꼭짓점을 적는 순서에 따라 뒤집힌다는 것을 잊는 것. 메시에서 꼭짓점 순서를 섞으면 면의 앞뒤가 바뀐다.
연결
- 선수: 내적과 노름, 행렬식(행렬식 꼴)
- 평면의 법선으로 쓰는 곳: 직선과 평면의 방정식, 좌표계 변환(\(N = U \times V\))
확인 문제
C1 외적의 성분 공식과 길이 공식, 방향을 정하는 규칙을 쓰라.
답: \(\mathbf a \times \mathbf b = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\). 길이는 \(\vert \mathbf a\vert \vert \mathbf b\vert \sin\theta\)(평행사변형 넓이). 방향은 두 벡터에 수직이고 오른손 법칙을 따른다.
C2 \((1, 0, 2) \times (0, 3, 0)\)을 구하라.
답: \((0\cdot0 - 2\cdot3,\ 2\cdot0 - 1\cdot0,\ 1\cdot3 - 0\cdot0) = (-6, 0, 3)\).
C3 행렬식 꼴을 쓰면 \(\mathbf a \times \mathbf b\)가 \(\mathbf a\)에 수직인 이유를 한 줄로 설명할 수 있다. 어떻게?
답: \((\mathbf a \times \mathbf b)\cdot\mathbf a\)는 첫 행의 \(\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\) 자리에 \(\mathbf a\)의 성분을 넣은 행렬식이다. 그러면 첫 행과 둘째 행이 같아지고, 같은 행이 두 개인 행렬식은 0이다.
C4 외적에는 결합법칙 \((\mathbf a \times \mathbf b) \times \mathbf c = \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c)\)가 통하지 않는다. 단위 벡터로 반례를 들라.
답: \((\mathbf i \times \mathbf i) \times \mathbf j = \mathbf 0 \times \mathbf j = \mathbf 0\). \(\mathbf i \times (\mathbf i \times \mathbf j) = \mathbf i \times \mathbf k = -\mathbf j\). 둘이 다르다.