요약

역행렬은 행렬이 한 변환을 되돌리는 행렬이다. 암호화한 좌표를 복원하거나, 결과에서 원인을 거꾸로 구할 때 쓴다. 되돌릴 수 있으려면 변환이 정보를 잃지 않아야 한다. 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 뭉개지면(예: 평면을 한 직선으로 누르면) 어느 쪽으로 되돌릴지 정할 수 없다. 또 실제 계산에서는 역행렬을 직접 구해 곱하는 것보다 소거로 방정식을 푸는 편이 빠르고 정확하다.

예시로 보기

좌표 \((x, y)\)를 \(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}\)로 암호화해 보낸다. \((1, 2)\)는 \((4, 11)\)이 된다. 받는 쪽은 \(A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}\)를 곱해 \((3 \cdot 4 - 11,\ -5 \cdot 4 + 2 \cdot 11) = (1, 2)\)로 되살린다. 확인해 보면 \(A^{-1}A = I\)다.

반면 \(B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\)는 \((2, -1)\)과 \((0, 0)\)을 모두 \((0, 0)\)으로 보낸다. \((0, 0)\)을 받은 쪽은 원래 무엇이었는지 알 수 없다. \(A\)는 아래 정리의 가역 행렬, \(B\)는 특이 행렬이다.

그림

\(B\)는 평면의 모든 점을 직선 \(y = 2x\) 위로 누른다. 왼쪽 주황 직선 \(x + 2y = 0\) 위의 점은 모두 \((0, 0)\) 한 점으로 간다. 여러 입력이 한 출력으로 모이니 되돌릴 방법이 없다1.

정의

정의

\(n \times n\) 행렬 \(A\)에 대해 \(AB = BA = I\)인 \(B\)가 있으면 \(A\)는 가역(비특이)이고, \(B\)를 역행렬 \(A^{-1}\)이라 한다. 역행렬은 있으면 하나뿐이다. \(B\)와 \(C\)가 모두 역행렬이면 \(B = B(AC) = (BA)C = C\)이기 때문이다2.

\(2 \times 2\)는 공식이 있다. \(A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\)에서 \(ad - bc \ne 0\)이면 \(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\)이다. \(ad - bc = 0\)이면 역행렬이 없다(행렬식).

가역 행렬 정리

\(n \times n\) 행렬 \(A\)에 대해 다음은 동치다.

  1. \(A\)는 가역이다.
  2. 모든 \(\mathbf{b}\)에 대해 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해가 정확히 하나다.
  3. \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 해는 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)뿐이다.
  4. 소거(행 바꾸기 허용)로 0이 아닌 피벗이 \(n\)개 나온다.
증명

(1 ⇒ 2) \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)가 해다. 해 \(\mathbf{x}\)가 있으면 양변에 \(A^{-1}\)을 곱해 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)이므로 하나뿐이다.
(2 ⇒ 3) \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\)인 경우이고, \(\mathbf{0}\)은 늘 해다.
(3 ⇒ 4) 피벗이 \(n\)개보다 적으면 피벗 없는 열이 있다. 그 자유변수를 1로 두면 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 0이 아닌 해가 생겨 3에 어긋난다.
(4 ⇒ 1) 기본 행 연산 하나는 기본 행렬 \(E\)를 왼쪽에 곱하는 것이고, 각 \(E\)는 가역이다(연산을 되돌리는 행렬이 있다). 피벗이 \(n\)개면 계속 줄여 \(E_k \cdots E_1 A = I\)로 만들 수 있다(가우스–조르당). \(B = E_k \cdots E_1\)로 두면 \(BA = I\)이고, \(A = E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}\)이라 \(AB = E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}E_k\cdots E_1 = I\)다. ∎

flowchart LR
    C1["1. A는 가역"] -->|"x = A⁻¹b"| C2["2. 모든 b에 해가 하나"]
    C2 -->|"b = 0인 경우"| C3["3. Ax = 0의 해는 0뿐"]
    C3 -->|"자유변수가 없다"| C4["4. 0 아닌 피벗이 n개"]
    C4 -->|"가우스–조르당"| C1

증명의 화살표 네 개가 한 바퀴를 돈다. 그래서 어느 조건에서 출발해도 나머지 셋에 닿고, 넷은 모두 같은 말이 된다3.

가우스–조르당. \([A \mid I]\)에 행 연산을 해 왼쪽을 \(I\)로 만들면 오른쪽이 \(A^{-1}\)이 된다. 왼쪽에 곱해진 \(E_k\cdots E_1 = A^{-1}\)이 오른쪽의 \(I\)에도 똑같이 곱해지기 때문이다.

곱과 전치. \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)이고 \((A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top\)(\(^\top\)는 행과 열을 바꾸는 전치)이다. \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = I\)로 확인한다. 양말을 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발부터 벗는다.

예제

\(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}\)의 역행렬을 가우스–조르당으로 구한다.

  1. 시작: \(\left[\begin{smallmatrix}2 & 1 & \mid & 1 & 0\\ 5 & 3 & \mid & 0 & 1\end{smallmatrix}\right]\).
  2. 아래 지우기: 2행 \(- \frac52 \times\) 1행 → \((0, \frac12 \mid -\frac52, 1)\). 2배 → \((0, 1 \mid -5, 2)\).
  3. 위 지우기: 1행 \(-\) 2행 → \((2, 0 \mid 6, -2)\). \(\frac12\)배 → \((1, 0 \mid 3, -1)\).
  4. 읽기: \(A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}\). \(2 \times 2\) 공식(\(ad - bc = 1\))과 같다.
검증: 예시의 암호화·복원과 \(B\)의 충돌, 가우스–조르당 구현(유리수)이 무작위 가역 행렬에서 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\), \(2 \times 2\) 공식, 가역 행렬 정리의 네 조건이 무작위 행렬(특이 포함)에서 같은 판정, \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\), \((A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top\) — 07_inverse-matrix_verify.py

활용

  • 계산에서는 역행렬을 피한다. \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)를 풀 때 \(A^{-1}\)을 구해 곱하면 연산이 약 세 배 들고 반올림 오차도 커진다. 라이브러리는 solve(내부적으로 LU 분해)를 권한다4.
  • 공식과 이론에서는 쓴다. 선형 변환을 되돌리는 것, 좌표계를 바꾸는 \(P^{-1}AP\)(기저 변환), 최소제곱의 \((A^\top A)^{-1}A^\top\)처럼 식을 쓸 때 역행렬 기호를 쓴다.
  • 흔한 실수. 정사각이 아닌 행렬의 역행렬을 찾는 것, \((AB)^{-1}\)을 \(A^{-1}B^{-1}\)로 쓰는 것.
  • 알고리즘에서: 대각선과 그 아래가 모두 1인 아래삼각행렬 \(L\)을 곱하면 앞에서부터 그 칸까지 더한 합(누적 합)이 되고, \(L^{-1}\)을 곱하면 이웃한 두 칸의 차(차분)가 된다. 실제 코드는 행렬을 만들지 않고 둘 다 \(O(n)\)에 계산한다(누적 합과 차분 배열).
  • 브리지: 누적 합 ↔ 아래삼각행렬

연결

과목별 관점

수치해석 (2-2학기). 역행렬을 여인수로 쓰는 공식을 먼저 배운다. \(A_{ij}\)를 \(i\)행과 \(j\)열을 지운 행렬의 행렬식(소행렬식)이라 하면 다음과 같다. 오른쪽 첨자가 \(ji\)로 뒤바뀐 것에 주의한다.

\[(A^{-1})_{ij} = \frac{(-1)^{i+j}\vert A_{ji}\vert }{\vert A\vert }\]

가우스–조르당 알고리즘은 열 \(j\)마다 \(j\)번째 행과 그 아래 행 중 \(\vert a_{ij}\vert\)가 가장 큰 행을 골라 \(j\)번째 행과 맞바꾼다. 0이 아닌 수가 하나도 없으면 역행렬이 없다. 이렇게 큰 수를 골라 나누는 것을 부분 피벗팅이라 한다. 0으로 나누는 것을 피하고, 0에 가까운 수로 나눠 반올림 오차가 커지는 것도 막는다.

예: \(A = \begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\ 1 & 6 & -4\\ 5 & 0 & 8\end{pmatrix}\)은 첫 열에서 가장 큰 5가 있는 셋째 행을 첫 행과 바꾸며 시작한다. 결과는 \(A^{-1} = \frac{1}{34}\begin{pmatrix}48 & 8 & -14\\ -28 & 1 & 11\\ -30 & -5 & 13\end{pmatrix}\)이다. 연립방정식 \(x - 3y + z = 5\), \(4x + y - 2z = -2\), \(-2x + 3y = 1\)은 \(\vert A\vert = 8\)이고 \(X = A^{-1}B = (\frac{29}{8}, \frac{22}{8}, \frac{77}{8})\)이다.

\(\vert A\vert = 0\)이면 \(x - 3y = 5\), \(-2x + 6y = 1\)처럼 두 직선이 평행해 만나지 않을 수 있다. 우변이 0인 \(AX = 0\)은 \(\vert A\vert \ne 0\)이면 \(X = 0\)만 해이고, \(\vert A\vert = 0\)이면 0이 아닌 해가 있다.

확인 문제

C1 \(\begin{pmatrix}4 & 7\\ 2 & 6\end{pmatrix}\)의 역행렬을 구하라.

답: \(ad - bc = 24 - 14 = 10\). \(\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6 & -7\\ -2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.6 & -0.7\\ -0.2 & 0.4\end{pmatrix}\).

C2 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)에서 순서가 뒤집히는 이유를 변환으로 설명하라.

답: \(AB\mathbf{x}\)는 먼저 \(B\), 다음 \(A\)를 한다. 되돌리려면 마지막에 한 \(A\)를 먼저 되돌리고(\(A^{-1}\)), 그다음 \(B\)를 되돌린다(\(B^{-1}\)). 그래서 \(B^{-1}A^{-1}\)이다. 곱해 보면 \(ABB^{-1}A^{-1} = I\)다.

C3 \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}\)에 역행렬이 없음을 가역 행렬 정리의 조건 하나로 보여라.

답: \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)에 \(\mathbf{x} = (2, -1)\)이라는 0이 아닌 해가 있다(조건 3 위반). 즉 \((2, -1)\)과 \(\mathbf{0}\)이 같은 곳으로 가 되돌릴 수 없다. 소거해도 둘째 행이 \((0, 0)\)이 되어 피벗이 하나뿐이다.

C4 부분 피벗팅을 쓰는 가우스–조르당으로 \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}\)의 역행렬을 구한다. 첫 단계에서 무엇을 하고, 답은?

답: 첫 열에서 \(\vert 3\vert > \vert 1\vert\)이라 두 행을 바꾼다. 답은 \(\begin{pmatrix}-2 & 1\\ \frac32 & -\frac12\end{pmatrix}\).

  1. 07_inverse-matrix_plot.py로 그렸고, \(B(2, -1) = B(0, 0) = (0, 0)\), 무작위 점 400개의 상이 모두 \(y = 2x\) 위에 있다는 것, \(\det B = 0\)을 같은 코드로 확인했다. ↩

  2. Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 2.5절 “Inverse Matrices”(역행렬의 유일성, \(2 \times 2\) 공식, 가우스–조르당, \((AB)^{-1}\), 가역성과 피벗). ↩

  3. 이 문서 정의의 가역 행렬 정리와 그 증명(1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1)을 그대로 옮겼다(Strang 5판 2.5절). ↩

  4. “역행렬을 구해 곱하지 말고 푼다”는 수치 선형대수의 표준 권고다(NumPy 문서도 inv 대신 solve를 권한다). 연산 수 비교: 역행렬 약 \(2n^3\), LU 풀이 약 \(\frac23 n^3\). ↩