교재: Strang Introduction to Linear Algebra와 MIT 18.06, Axler Linear Algebra Done Right 4판 (공개)
먼저 알아야 할 것
- 다항식과 방정식 (대학수학) → 고윳값과 고유벡터
- 삼각함수 (대학수학) → 벡터, 선형변환
- 삼각함수 항등식 (대학수학) → 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬
- 사인 법칙과 코사인 법칙 (대학수학) → 내적과 노름
- 복소수의 극형식과 오일러 공식 (대학수학) → 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬, 이산 푸리에 변환과 FFT
- 선형 점화식 (이산수학) → 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱
1단원 · 벡터
읽기 전에
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 01 | 벡터 | 크기와 방향을 가진 화살표이자 숫자 목록 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 02 | 내적과 노름 | 성분 곱의 합 = 길이 × 길이 × cos(사잇각). 수직이면 0 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 03 | 선형결합과 생성 | 벡터들을 늘여 더해 닿을 수 있는 모든 곳 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 벡터의 두 연산, 내적의 두 정의와 둘이 같은 이유(코사인 법칙), 코시–슈바르츠, 생성의 네 가지 모양을 적어 본다.
2단원 · 행렬과 연립방정식
읽기 전에
- 행렬에 벡터를 곱하는 것을 ‘열들을 섞는 것’으로 볼 수 있을까? → 행렬과 행렬-벡터 곱
- 식이 셋, 미지수가 셋이면 해는 늘 하나일까? → 가우스 소거법
- 회전하고 늘이는 것과 늘이고 회전하는 것은 같을까? → 행렬 곱셈과 전치
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 04 | 행렬과 행렬-벡터 곱 | Ax는 A의 열들의 선형결합. 연립방정식은 Ax = b (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 05 | 가우스 소거법 | 행 연산으로 위삼각꼴을 만들어 차례로 푼다. 해 없음·하나·무한 (무거움) | 그림1 · 구현 · 그림 코드 · 검증 | 가우스 소거 예제 사다리 |
| 06 | 행렬 곱셈과 전치 | 곱은 변환의 합성. 순서를 바꾸면 결과가 다르다 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 07 | 역행렬 | 변환을 되돌리는 행렬. 존재 조건과 가우스-조르당 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 08 | LU 분해 | 소거 과정을 L과 U로 저장해 여러 b를 빨리 푼다 | 구현 · 검증 | — |
떠올려 보기: Ax의 두 관점, 소거의 네 하위목표와 해의 세 경우, AB ≠ BA의 예, 가역 행렬 정리의 네 조건, 곱수가 L에 놓이는 이유를 순서대로 적는다.
3단원 · 벡터공간과 선형변환
읽기 전에
- 어느 두 벡터도 평행하지 않으면 셋은 늘 ‘겹침 없는’ 모음일까? → 선형독립
- 해가 무한히 많은 연립방정식은 어떤 우변에도 해가 있을까? → 랭크와 네 부분공간
- 덧셈정리를 외우지 않고 다시 만들 수 있을까? → 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬
- 행렬식이 0이라는 것은 그림으로 무슨 뜻일까? → 행렬식
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 09 | 선형독립 | 어느 벡터도 나머지로 만들 수 없다. 중복 정보가 없다 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 10 | 부분공간, 기저와 차원 | 공간을 빠짐없이, 중복 없이 표현하는 최소 벡터 모음 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 11 | 랭크와 네 부분공간 | 열공간·영공간·행공간·왼쪽 영공간. 랭크 + 영공간 차원 = 열 수 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 12 | 선형변환 | 격자를 평행·등간격으로 유지하는 변환. 회전·반사·사영·전단 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 13 | 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬 | 세 가지 모두 ‘각을 더하면 회전이 합성된다’를 다른 언어로 쓴 것 | 검증 | — |
| 14 | 기저 변환 | 같은 변환도 좌표계에 따라 행렬이 달라진다. P⁻¹AP | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 15 | 행렬식 | 변환이 넓이·부피를 몇 배로 바꾸는가. 0이면 되돌릴 수 없다 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 독립·기저·차원의 정의, 네 부분공간과 차원(r, n−r, r, m−r), 회전 행렬과 복소수의 대응, P⁻¹AP를 읽는 순서, 행렬식의 세 성질을 적는다.
4단원 · 직교성
읽기 전에
- 점에서 평면까지 가장 가까운 점은 어떻게 찾을까? → 직교성과 직교 사영
- 모든 점을 지나는 직선이 없을 때 ‘가장 잘 맞는’ 직선은 무엇을 기준으로 고를까? → 최소제곱법
- 기울어진 기저를 서로 수직인 기저로 바꿀 수 있을까? → 그람-슈미트와 QR 분해
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 16 | 직교성과 직교 사영 | 가장 가까운 점은 수직으로 내린 발 (무거움) | 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 17 | 최소제곱법 | 풀 수 없는 Ax = b를 오차 제곱합 최소로. AᵀAx̂ = Aᵀb (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | 최소제곱 예제 사다리 |
| 18 | 그람-슈미트와 QR 분해 | 기울어진 기저를 직교 기저로 바로 세운다 | 그림1 · 구현 · 그림 코드 · 검증 | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 사영의 수직 조건에서 정규방정식을 끌어내고, P의 두 성질, 최소제곱 직선의 네 하위목표, 그람–슈미트의 한 단계를 적는다.
5단원 · 고윳값과 분해
읽기 전에
- 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않는 벡터가 있을까? → 고윳값과 고유벡터
- 행렬을 100번 곱하는 일을 숫자 몇 개의 100제곱으로 줄일 수 있을까? → 대각화와 행렬 거듭제곱
- 피보나치 점화식의 특성방정식과 행렬의 고윳값은 무슨 관계일까? → 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱
- 사진 한 장을 숫자 10%만으로 거의 그대로 저장할 수 있을까? → 특잇값 분해
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 19 | 고윳값과 고유벡터 | 변환해도 방향이 안 바뀌는 벡터와 그 배율 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 20 | 대각화와 행렬 거듭제곱 | 고유기저에서는 변환이 축별 늘이기. Ak가 쉬워진다 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | 고윳값과 대각화 예제 사다리 |
| 21 | 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱 | 특성방정식의 근 = 동반 행렬의 고윳값 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 22 | 대칭행렬과 스펙트럼 정리 | 대칭행렬은 직교 고유기저로 늘 대각화된다. 고윳값은 실수 (무거움) | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 23 | 양의 정부호 행렬과 이차형식 | xᵀAx > 0: 모든 방향으로 볼록한 그릇 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 24 | 특잇값 분해 | 모든 행렬 = 회전 · 늘이기 · 회전. 큰 특잇값만 남기면 최선의 근사 (무거움) | 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 특성방정식, 대각화의 조건과 A^k 공식, 스펙트럼 정리의 세 문장, 양의 정부호 판정 다섯 가지, SVD의 세 단계와 에카르트–영 정리를 적는다.
6단원 · 응용과 확장
읽기 전에
- 글꼴의 곡선을 점 몇 개로 저장할 수 있는 이유는? → 추상 벡터공간과 베지어 곡선
- 성분이 1/2, 1/3 같은 평범한 분수뿐인 행렬도 풀기 어려울 수 있을까? → 노름과 조건수
- 백만 개짜리 신호의 주파수 분석을 곱셈 백만의 제곱 번보다 훨씬 적게 할 수 있을까? → 이산 푸리에 변환과 FFT
| 번호 | 개념 | 한 줄 | 개념 코드 | 연습 |
|---|---|---|---|---|
| 25 | 추상 벡터공간과 베지어 곡선 | 함수·다항식도 벡터다. 베른슈타인 기저와 베지어 곡선 | 그림1 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 26 | 노름과 조건수 | 입력의 작은 오차가 해에서 몇 배로 커지나. 부동소수점 | 그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 27 | 이산 푸리에 변환과 FFT | 신호를 단위근 기저로 바꾸는 직교 변환. FFT로 O(n log n) | 그림1 · 그림2 · 구현 · 그림 코드 · 검증 | — |
| 28 | LU·QR·고윳값·SVD 비교 | 가르는 질문: 무엇을 풀려고 하는가 | 검증 | — |
떠올려 보기: 노트를 닫고 벡터공간의 여덟 법칙과 베른슈타인 기저, 조건수의 정의와 오차 한계, FFT의 짝·홀 분해와 복잡도, 네 분해를 가르는 질문을 적는다.
다른 과목과의 연결
- 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬 (선형대수학): 세 가지 모두 ‘각을 더하면 회전이 합성된다’를 다른 언어로 쓴 것
- 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱 (선형대수학): 특성방정식의 근 = 동반 행렬의 고윳값
- 인접행렬 거듭제곱 ↔ 마르코프 전이 (확률과 통계): (A^k)_ij는 보행 수, (P^k)_ij는 k단계 확률
- 행렬과 행렬-벡터 곱 ↔ 뉴런의 연산 모형 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): o = Ax + b
- 내적과 노름 ↔ 퍼셉트론 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): 가중합 wᵀx + b
- 랭크와 네 부분공간 ↔ 조건등색 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): C(i₁ − i₂) = 0은 영공간 문제
- 선형결합과 생성 ↔ 삼색 이론 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): 세 원색의 선형결합 Pw = r
- 선형변환 ↔ 격자 회전 ↔ 선형변환 (알고리즘 3.개념집): 격자를 뒤집고 전치하는 것이 선형변환이고, 반사 두 번이 회전이다
- 역행렬 ↔ 누적 합 ↔ 아래삼각행렬 (알고리즘 3.개념집): 누적 합은 아래삼각 1 행렬, 차분은 그 역행렬을 곱하는 일
흐름
점선 테두리는 아직 작성하지 않은 개념이다.
graph TD
n01["01 벡터"]
n02["02 내적과 노름"]
n03["03 선형결합과 생성"]
n04["04 행렬과 행렬-벡터 곱"]
n05["05 가우스 소거법"]
n06["06 행렬 곱셈과 전치"]
n07["07 역행렬"]
n08["08 LU 분해"]
n09["09 선형독립"]
n10["10 부분공간, 기저와 차원"]
n11["11 랭크와 네 부분공간"]
n12["12 선형변환"]
n13["13 덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬"]
n14["14 기저 변환"]
n15["15 행렬식"]
n16["16 직교성과 직교 사영"]
n17["17 최소제곱법"]
n18["18 그람-슈미트와 QR 분해"]
n19["19 고윳값과 고유벡터"]
n20["20 대각화와 행렬 거듭제곱"]
n21["21 선형 점화식 ↔ 행렬 거듭제곱"]
n22["22 대칭행렬과 스펙트럼 정리"]
n23["23 양의 정부호 행렬과 이차형식"]
n24["24 특잇값 분해"]
n25["25 추상 벡터공간과 베지어 곡선"]
n26["26 노름과 조건수"]
n27["27 이산 푸리에 변환과 FFT"]
n28["28 LU·QR·고윳값·SVD 비교"]
n01 --> n02
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n02 --> n04
n04 --> n05
n04 --> n06
n05 --> n07
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n03 --> n09
n05 --> n09
n09 --> n10
n10 --> n11
n07 --> n11
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n10 --> n12
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n07 --> n14
n12 --> n15
n05 --> n15
n11 --> n16
n02 --> n16
n16 --> n17
n16 --> n18
n15 --> n19
n11 --> n19
n19 --> n20
n14 --> n20
n20 --> n21
n20 --> n22
n18 --> n22
n22 --> n23
n22 --> n24
n10 --> n25
n24 --> n26
n07 --> n26
n18 --> n27
n08 --> n28
n18 --> n28
n20 --> n28
n24 --> n28
classDef todo stroke-dasharray: 4 3