반지름이 1인 원 위를 도는 점을 떠올린다. 점의 가로 위치가 코사인, 세로 위치가 사인이다. 각이 한 바퀴 돌 때마다 값이 되풀이되므로 모든 주기 현상의 기본 재료가 된다. 삼각형에서 배우는 “빗변 분의 높이”는 90°보다 작은 각에서만 통하지만, 원 위의 점으로 정하면 어떤 각에서도 통한다. 다만 탄젠트는 코사인이 0인 각에서 정의되지 않는다.
예시로 보기
반지름 1인 원(단위원)에서 \((1, 0)\)을 출발해 시계 반대 방향으로 각 \(\theta\)만큼 돈 점을 \(P(\theta)\)라 하자. \(\theta = \pi/6\)(30°)이면 \(P = \left(\tfrac{\sqrt3}{2}, \tfrac12\right)\)이다. 이 점의 가로 좌표 \(\tfrac{\sqrt3}{2}\)가 \(\cos(\pi/6)\), 세로 좌표 \(\tfrac12\)가 \(\sin(\pi/6)\)이다.
| \(\theta\) | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\theta\) (가로) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\sin\theta\) (세로) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
점이 원을 따라 도는 동안 세로 좌표만 시간축에 펼쳐 그리면 사인 그래프, 가로 좌표만 펼치면 코사인 그래프다. 두 그래프는 모양이 같고 \(\pi/2\)만큼 어긋나 있다. 점이 \(\pi/2\)에서 \(\pi\)로 가는 동안 원에서는 왼쪽 위로 내려오고, 그래프에서는 사인이 1에서 0으로, 코사인이 0에서 −1로 내려간다.
왼쪽 단위원에서 \(P(\pi/6)\)의 가로 길이(파랑)가 \(\cos(\pi/6)\), 세로 길이(주황)가 \(\sin(\pi/6)\)이다. 오른쪽 그래프에서 점선 \(\theta = \pi/6\) 위의 두 점이 같은 두 값이다1.
정의
실수 \(\theta\)에 대해, 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 점 \((1, 0)\)을 원점 중심으로 \(\theta\)라디안 돌린 점을 \(P(\theta) = (x, y)\)라 하자(\(\theta < 0\)이면 시계 방향). 이때2
\[\cos\theta = x, \qquad \sin\theta = y, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}\ \ (x \ne 0)\]역수인 \(\sec\theta = 1/\cos\theta\), \(\csc\theta = 1/\sin\theta\), \(\cot\theta = 1/\tan\theta\)도 쓴다.
정의에서 곧바로 나오는 성질은 다음과 같다.
- 피타고라스 항등식: 점이 단위원 위에 있으므로 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\). 그래서 두 값은 \([-1, 1]\) 안에 있다.
- 주기: 한 바퀴 돌면 같은 점이므로 \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\), \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta\). 탄젠트의 주기는 \(\pi\)다.
- 대칭: \(-\theta\)는 \(x\)축에 대칭인 점이라 \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\).
- 어긋남: \(\sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos\theta\).
- 반지름 \(r\)인 원 위의 점은 \((r\cos\theta, r\sin\theta)\)다.
설계 이유. 직각삼각형의 비로 정하면 각이 \(0\)과 \(\pi/2\) 사이일 때만 뜻이 있다. 단위원으로 정하면 둔각, 음수 각, 여러 바퀴 돈 각까지 모두 정의되고 주기성이 저절로 따라온다. 각을 라디안으로 재는 것도 이 정의와 맞물린다. 단위원에서는 호의 길이가 곧 각이다.
동치인 다른 정의.
| 정의 | 근거 |
|---|---|
| 예각 \(\theta\)에서 \(\sin\theta = \dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}\), \(\cos\theta = \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}\) | 빗변 \(h\)인 직각삼각형을 \(1/h\)배로 줄이면 단위원 안의 삼각형과 닮은꼴이 된다2 |
| \(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots\) | [증명 생략: 테일러 급수] |
| \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)의 실수부와 허수부 | 복소수의 극형식과 오일러 공식 |
해당하는 예: \(\sin(\pi/6) = \tfrac12\), \(\cos\pi = -1\), \(\tan(\pi/4) = 1\). 해당하지 않는 예: \(\tan(\pi/2)\)(가로 좌표가 0이라 정의되지 않는다), \(\sin\theta = 2\)인 \(\theta\)(세로 좌표는 1을 넘지 못한다).
증명
특수각의 값은 두 가지 삼각형에서 나온다.
증명 펼치기
- \(\pi/4\): \(P(\pi/4)\)는 직선 \(y = x\) 위에 있으므로 \(x = y\)다. \(x^2 + y^2 = 1\)에서 \(2x^2 = 1\), \(x = y = \frac{\sqrt2}{2}\). — 피타고라스 항등식
- \(\pi/6\): \(P(\pi/6)\), \(P(-\pi/6)\), 원점은 세 변이 1이고 두 반지름 사이 각이 \(\pi/3\)인 정삼각형을 이룬다(나머지 두 각이 같고 합이 \(2\pi/3\)이므로). 두 점 사이 거리 \(2y = 1\)이므로 \(y = \frac12\), 그리고 \(x = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}\).
- \(\pi/3\): \(P(\pi/3)\)은 직선 \(y = x\)에 대해 \(P(\pi/6)\)과 대칭이므로 좌표를 바꾼 \(\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)\)다. ∎
스스로 설명해 보기
1. 증명 2에서 “두 점 사이 거리가 2y”인 이유는?
두 점 \((x, y)\)와 \((x, -y)\)는 가로 좌표가 같고 세로 좌표만 부호가 반대라 거리가 \(2y\)다. \(P(-\pi/6)\)은 \(P(\pi/6)\)을 \(x\)축에 대칭한 점이다.
2. sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = −cos θ는 단위원에서 어디서 나오나?
\(P(\pi - \theta)\)는 \(P(\theta)\)를 \(y\)축에 대칭한 점이다. 세로 좌표는 그대로, 가로 좌표는 부호만 바뀐다.
이 정의의 핵심 아이디어는?
각을 “원 위의 위치”로 바꾸면, 삼각함수의 성질은 모두 원의 대칭(좌우·상하·회전)에서 읽힌다.
같은 아이디어를 쓰는 다른 상황은?
시계 바늘 끝의 좌표, 게임에서 방향 \(\theta\)로 속력 \(v\)로 움직이는 물체의 한 걸음 \((v\cos\theta, v\sin\theta)\), 회전하는 바퀴의 한 점.
예제
\(\sin\frac{5\pi}{6}\), \(\cos\frac{5\pi}{6}\)을 구한다.
- 기준각 찾기: \(\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}\)이므로 \(x\)축과 이루는 예각이 \(\frac{\pi}{6}\)이다.
- 사분면으로 부호 정하기: 제2사분면이라 가로는 음수, 세로는 양수다.
- 값 넣기: \(\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12\), \(\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}\).
같은 방법으로 \(\sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}\)(제4사분면, 기준각 \(\pi/4\)), \(\tan\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt3/2}{-1/2} = -\sqrt3\)이다.
활용
- 방향으로 움직이기. 게임과 로봇에서 방향 \(\theta\), 속력 \(v\)로 \(\Delta t\)초 움직이면 위치가 \((v\cos\theta\,\Delta t,\ v\sin\theta\,\Delta t)\)만큼 바뀐다.
- 원 그리기. 원·호·원형 진행 표시줄은 \((c_x + r\cos\theta, c_y + r\sin\theta)\)를 \(\theta\)를 조금씩 늘리며 찍어 그린다.
- 부동소수점.
math.sin(math.pi)는 0이 아니라 약 \(1.22 \times 10^{-16}\)이다.math.pi가 \(\pi\)와 정확히 같지 않기 때문이다. 결과를 0과 비교할 때는==대신 오차 범위(math.isclose)를 쓴다. - 주기 신호는 사인파로, 회전의 합성은 삼각함수 항등식으로 이어진다.
연결
- 선수: 각과 라디안
- 이어지는 개념: 사인파, 삼각함수 항등식, 역삼각함수, 사인 법칙과 코사인 법칙, 극좌표와 매개변수 곡선
- 선형대수학의 회전 행렬과 내적이 이 정의 위에 선다.
자주 하는 오해
틀렸다. 중학교에서 직각삼각형으로 처음 배워 그 정의가 전부인 것처럼 느껴진다. 실제 정의는 단위원 위 점의 좌표이고, 삼각형의 비는 예각에서 그 정의와 일치하는 특별한 경우다. 그래서 \(\sin 120° = \frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos(-\pi/3) = \frac12\), \(\sin(7\pi) = 0\)처럼 모든 각에서 값이 있다. 단위원에서 120°의 점 \(\left(-\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)\)을 찍어 보면 확인된다.
확인 문제
C1 사인과 코사인을 단위원으로 정의하고, 이 정의가 직각삼각형 정의보다 나은 점을 쓰라.
답: \((1, 0)\)을 원점 중심으로 \(\theta\)만큼 돌린 단위원 위의 점의 가로 좌표가 \(\cos\theta\), 세로 좌표가 \(\sin\theta\)다. 모든 실수 각에서 정의되고, 주기성·대칭이 원의 모양에서 바로 나온다.
C2 sin(5π/6), cos(5π/6), sin(7π/4), tan(2π/3)을 구하라.
답: \(\frac12\), \(-\frac{\sqrt3}{2}\), \(-\frac{\sqrt2}{2}\), \(-\sqrt3\).
흔한 오답: 부호를 빠뜨리는 것. 기준각으로 크기를 구한 뒤, 그 점이 몇 사분면에 있는지로 부호를 따로 정한다.
C3 단위원 위의 점이 θ = π/2에서 θ = π까지 움직인다. 사인 그래프와 코사인 그래프는 이 구간에서 각각 어떻게 움직이는가? 원 위의 어떤 움직임이 그 변화를 만드는가?
답: 사인은 1에서 0으로, 코사인은 0에서 −1로 둘 다 줄어든다. 점이 꼭대기 \((0, 1)\)에서 왼쪽 끝 \((-1, 0)\)으로 내려오면서 세로 좌표는 줄고 가로 좌표는 왼쪽(음수)으로 커지기 때문이다.
C4 sin(π/6) = 1/2을 단위원과 정삼각형으로 보여라.
답: \(P(\pi/6)\), \(P(-\pi/6)\), 원점은 두 변이 반지름 1이고 끼인각이 \(\pi/3\)이라 정삼각형이다. 그래서 두 점 사이 거리가 1이다. 두 점은 \(x\)축에 대칭이라 거리가 \(2\sin(\pi/6)\)이므로 \(\sin(\pi/6) = \frac12\).
-
12_trig-functions_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(\(P(\pi/6) = (\sqrt3/2,\ 1/2)\), \(\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta\))을 같은 코드로 확인했다. ↩
-
OpenStax, Precalculus 2e, 5.2절 “Unit Circle: Sine and Cosine Functions”, 5.3절 “The Other Trigonometric Functions”, 5.4절 “Right Triangle Trigonometry”. 그래프는 6.1절 “Graphs of the Sine and Cosine Functions”. ↩ ↩2