사용 개념: 고윳값과 고유벡터, 대각화와 행렬 거듭제곱.

이 방법을 떠올리는 신호는 같은 행렬을 여러 번 곱하거나(\(A^k\)), 반복 과정의 장기 행동(정상 상태, 수렴, 폭발)을 묻는 문제다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 고윳값: \(\det(A - \lambda I) = 0\)을 푼다. \(2 \times 2\)면 \(\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0\).
  2. 고유벡터: 고윳값마다 \((A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 영이 아닌 해를 구한다.
  3. 대각화 판정: 독립인 고유벡터가 \(n\)개면 \(X\)(열 = 고유벡터), \(\Lambda\)(대각 = 고윳값)를 세운다.
  4. 목표 계산과 검산: \(A^k = X\Lambda^kX^{-1}\) 또는 \(\mathbf{u}_k = \sum c_i\lambda_i^k\mathbf{x}_i\)(\(\sum\)은 차례로 모두 더한다는 기호)를 쓰고, \(k = 1\)이나 \(AX = X\Lambda\)로 확인한다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\)의 \(A^k\).

  1. 고윳값: \(\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0\), \(\lambda = 3, 1\).
  2. 고유벡터: \(\lambda = 3\): \((1, 1)\). \(\lambda = 1\): \((1, -1)\).
  3. 판정: 서로 다른 고윳값이라 독립. \(X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\), \(\Lambda = \operatorname{diag}(3, 1)\).
  4. 계산과 검산: \(A^k = \frac12\begin{pmatrix}3^k + 1 & 3^k - 1\\ 3^k - 1 & 3^k + 1\end{pmatrix}\). \(k = 1\)이면 \(A\)가 나온다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(A = \begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}\)의 \(A^k\).

  1. 고윳값: \(\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0\), \(\lambda = 5, 2\).
  2. 고유벡터: \(\lambda = 5\): \(A - 5I = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 2 & -2\end{pmatrix}\)에서 \((1, 1)\). \(\lambda = 2\): \(A - 2I = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}\)에서 \((1, -2)\).
  3. 판정: \(X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -2\end{pmatrix}\), \(\Lambda = \operatorname{diag}(5, 2)\).
  4. 계산과 검산: __
답

\(X^{-1} = \frac13\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\). \(A^k = X\operatorname{diag}(5^k, 2^k)X^{-1} = \frac13\begin{pmatrix}2 \cdot 5^k + 2^k & 5^k - 2^k\\ 2 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k & 5^k + 2 \cdot 2^k\end{pmatrix}\). \(k = 1\)이면 \(\frac13\begin{pmatrix}12 & 3\\ 6 & 9\end{pmatrix} = A\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

날씨가 맑으면 다음 날도 맑을 확률 0.9, 흐리면 다음 날 맑을 확률 0.2다. (맑음, 흐림) 확률은 \(A = \begin{pmatrix}0.9 & 0.2\\ 0.1 & 0.8\end{pmatrix}\)을 곱해 바뀐다. 오래 지나면 맑은 날의 비율은?

  1. 고윳값: 대각합 1.7, 행렬식 0.7이라 \(\lambda^2 - 1.7\lambda + 0.7 = 0\), \(\lambda = 1, 0.7\).
  2. 고유벡터: \(\lambda = 1\): \(A - I = \begin{pmatrix}-0.1 & 0.2\\ 0.1 & -0.2\end{pmatrix}\)에서 \((2, 1)\). \(\lambda = 0.7\): \((1, -1)\).
  3. 판정: __
  4. 계산과 검산: __
답
  1. 서로 다른 고윳값이라 대각화된다. \(X = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\), \(\Lambda = \operatorname{diag}(1, 0.7)\).
  2. \(\mathbf{u}_k = c_1(2, 1) + c_2(0.7)^k(1, -1)\)에서 \(0.7^k \to 0\)이라 \((2, 1)\) 방향만 남는다. 확률의 합이 1이 되도록 나누면 \((\frac23, \frac13)\). 맑은 날이 \(\frac23\)이다. 검산: \(A(\frac23, \frac13) = (0.6 + \frac{0.2}{3},\ \frac{0.1 \cdot 2}{3} + \frac{0.8}{3}) = (\frac23, \frac13)\).

문제 4 · 독립 문제

\(A = \begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}\)의 \(A^k\)를 구하라.

답

삼각행렬이라 고윳값은 3, 2. \(\lambda = 3\): \((1, 0)\). \(\lambda = 2\): \(A - 2I = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\)에서 \((1, -1)\). \(X = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix} = X^{-1}\). \(A^k = \begin{pmatrix}3^k & 3^k - 2^k\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}\). \(k = 2\)이면 \(\begin{pmatrix}9 & 5\\ 0 & 4\end{pmatrix}\)로 직접 곱한 것과 같다.

변형 문제

\(J = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)은 하위목표 3에서 막힌다. 왜 막히고, \(J^k\)는 어떻게 구하는가?

답

고윳값 1이 두 번인데 \(J - I = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\)의 영공간이 1차원이라 독립인 고유벡터가 하나뿐이다. 대각화되지 않는다. 직접 곱해 보면 \(J^2 = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)이고 귀납법으로 \(J^k = \begin{pmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)이다. 고윳값이 1인데도 \(k\)에 비례해 자란다. 이런 행렬은 조르당 형식으로 다룬다.

검증: 문제 1, 4의 공식과 문제 2의 \(A^k\)(유리수로 \(k \le 10\)), 문제 3의 정상 상태, 변형의 \(J^k\) — 20_diagonalization_verify.py

  1. Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 6.1절(고윳값 구하기), 6.2절 “Diagonalizing a Matrix”(대각화와 \(A^k\), 대각화되지 않는 경우). ↩