요약

벡터 몇 개를 각각 늘이거나 줄여서 더한 것이 선형결합이고, 그렇게 만들 수 있는 모든 벡터의 모임이 생성(span)이다. 물감 세 가지를 비율만 바꿔 섞어 만들 수 있는 모든 색을 떠올리면 된다. “이 목표에 닿을 수 있는가”가 곧 “연립방정식에 해가 있는가”라서 선형대수의 거의 모든 질문이 여기서 시작한다. 다만 벡터를 더 준다고 늘 닿는 곳이 넓어지지는 않는다. 새 벡터가 이미 만들 수 있는 것이면 생성은 그대로다.

예시로 보기

오른쪽으로 1·위로 1 가는 버튼 \(\mathbf{a} = (1, 1)\)과 오른쪽으로 1·위로 2 가는 버튼 \(\mathbf{b} = (1, 2)\)가 있다. 버튼을 원하는 만큼(음수·소수 허용) 눌러 \((3, 5)\)에 갈 수 있을까?

\(c\,\mathbf{a} + d\,\mathbf{b} = (c + d,\ c + 2d) = (3, 5)\)에서 \(d = 2\), \(c = 1\)이다. 갈 수 있다. 사실 두 버튼은 방향이 달라 평면의 어디든 갈 수 있다. 반면 \(\mathbf{a} = (1, 2)\), \(\mathbf{b} = (2, 4)\)라면 \(\mathbf{b} = 2\mathbf{a}\)라서, 아무리 눌러도 직선 \(y = 2x\) 위만 다닌다. 버튼이 아래 정의의 \(\mathbf{v}_i\), 누르는 횟수가 계수 \(c_i\)다.

그림

왼쪽의 비스듬한 격자선은 \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\)를 정수 번 누른 자리를 이은 것으로, 평면 전체를 덮는다. 오른쪽 점들은 두 버튼을 아무렇게나 300번 섞은 결과인데, 모두 직선 \(y = 2x\) 위에 있고 (3, 5)에는 닿지 않는다1.

정의

정의
  • 벡터 \(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n\)(\(\in\)은 “~에 속한다”)과 스칼라 \(c_1, \dots, c_k\)로 만든 \(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k\)를 선형결합이라 한다.
  • 가능한 모든 선형결합의 집합을 생성이라 하고 \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}\)로 쓴다2.

생성은 늘 원점을 지난다(모든 계수를 0으로). 또 생성 안의 두 벡터를 더하거나 스칼라배해도 생성 안에 남는다. 그래서 생성은 원점을 지나는 “평평한” 모양이다.

벡터 생성의 모양
\(\mathbf{0}\) 하나 점(원점)
\(\mathbf{0}\)이 아닌 벡터 하나 원점을 지나는 직선
평행하지 않은 두 벡터 원점을 지나는 평면
\(\mathbb{R}^3\)에서 한 평면에 있지 않은 세 벡터 \(\mathbb{R}^3\) 전체

“목표 \(\mathbf{b}\)가 생성 안에 있는가?”는 미지수 \(c_1, \dots, c_k\)에 대한 연립일차방정식 \(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{b}\)에 해가 있는지와 같은 질문이다. 이것을 행렬로 쓴 것이 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)다(행렬과 행렬-벡터 곱).

예제

\(\mathbf{b} = (1, 3, 5)\)가 \(\mathbf{v}_1 = (1, 1, 1)\), \(\mathbf{v}_2 = (0, 1, 2)\)의 생성 안에 있는가?

  1. 식 세우기: \(c_1 = 1\), \(c_1 + c_2 = 3\), \(c_1 + 2c_2 = 5\).
  2. 앞의 두 식으로 풀기: \(c_1 = 1\), \(c_2 = 2\).
  3. 셋째 식 확인: \(1 + 4 = 5\). 맞으므로 \(\mathbf{b} = \mathbf{v}_1 + 2\mathbf{v}_2\)다. 셋째 성분을 6으로 바꾸면 \(1 + 4 \ne 6\)이라 생성 밖이다. 두 벡터는 \(\mathbb{R}^3\)에서 평면 하나만 만든다.
검증: 예시의 \((3, 5) = 1\cdot(1, 1) + 2\cdot(1, 2)\), \((1, 2)\)와 \((2, 4)\)의 생성이 직선 \(y = 2x\) 위, 두 방향이 다른 벡터로 무작위 점에 도달, 예제와 \((1, 3, 6)\)의 판정, 생성이 덧셈·스칼라배에 닫힘, 카드의 값 — 03_span_verify.py

활용

  • 색 혼합. 삼색 이론에서 원색 세 개의 세기를 \(\mathbf{w}\)라 하면 만들어지는 색 반응은 원색 벡터들의 선형결합 \(P\mathbf{w}\)다. 모니터가 낼 수 있는 색의 범위는 세기가 0 이상이라는 제약이 붙은 결합의 모임이다3.
  • 데이터의 표현. 얼굴 사진을 “기본 얼굴” 몇 장의 선형결합으로 근사하는 것이 차원 축소(주성분 분석)의 생각이다. 몇 장으로 충분한지는 생성이 얼마나 넓은지에 달려 있다(특잇값 분해).
  • 흔한 실수. 벡터가 \(k\)개면 생성이 \(k\)차원이라고 단정하는 것. 서로를 만들 수 있으면(선형종속) 더 좁다.

연결

확인 문제

C1 \((3, 5)\)를 \((1, 1)\)과 \((1, 2)\)의 선형결합으로 쓰라.

답: \(c + d = 3\), \(c + 2d = 5\)에서 \(d = 2\), \(c = 1\). \((3, 5) = 1\cdot(1, 1) + 2\cdot(1, 2)\).

C2 어떤 벡터들의 생성이든 원점을 반드시 포함하는 이유는? 그래서 직선 \(y = x + 1\)이 생성이 될 수 없는 이유는?

답: 모든 계수를 0으로 두면 영벡터가 나온다. \(y = x + 1\)은 원점을 지나지 않으므로 어떤 벡터들의 생성도 될 수 없다.

C3 \(\mathbb{R}^3\)에서 \(\{(1, 2, 3), (2, 4, 6)\}\)과 \(\{(1, 2, 3), (0, 1, 0)\}\)의 생성은 각각 어떤 모양인가?

답: 앞의 것은 \((2, 4, 6) = 2(1, 2, 3)\)이라 원점을 지나는 직선이다. 뒤의 것은 두 벡터가 평행하지 않아 원점을 지나는 평면이다.

  1. 03_span_plot.py로 그렸고, \((3, 5) = 1\cdot(1, 1) + 2\cdot(1, 2)\)와 \((1, 2)\), \((2, 4)\)의 결합이 모두 \(y = 2x\) 위에 있다는 것을 같은 코드로 확인했다. ↩

  2. Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 1.1절 “Vectors and Linear Combinations”, 3.1절 “Spaces of Vectors”(열들의 모든 결합). ↩

  3. 음이 아닌 계수만 허용한 결합은 원뿔(원점에서 뻗는 부채꼴 모양)을 이룬다. 선형대수의 생성과 달리 모니터의 색 영역은 이 제약 때문에 모든 색을 포함하지 못한다. ↩