다항식과 방정식

요약

다항식은 변수를 몇 번 곱한 항들에 수를 곱해 더한, 가장 단순한 함수다. 값이 0이 되는 곳(근)과 인수는 짝을 이룬다. 어떤 수가 근이면 식이 그 수에 대한 일차식으로 나누어떨어진다. 그래서 근은 차수보다 많을 수 없고, 점 몇 개만 알면 다항식이 하나로 정해진다. 다만 교과서의 근의 공식을 컴퓨터로 그대로 계산하면 크게 틀릴 수 있다.

예시로 보기

$p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$에 $x = 1$을 넣으면 $1 - 6 + 11 - 6 = 0$이다. $1$이 근이므로 $p(x)$는 $(x - 1)$로 나누어떨어진다. 나눗셈은 계수만 써서 하는 조립제법이 빠르다.

 1 |  1   -6   11   -6        ← p의 계수 (높은 차수부터)
   |        1   -5    6        ← 바로 아래 값에 1을 곱해 올린 것
   +---------------------
      1   -5    6 |   0        ← 몫 x² − 5x + 6, 나머지 0

몫 $x^2 - 5x + 6$은 $(x - 2)(x - 3)$으로 인수분해된다. 그래서 $p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$이고 근은 $1, 2, 3$이다. 3차식이 근 세 개를 다 썼으니 더는 근이 없다.

$그림$

그래프가 가로축을 1, 2, 3에서 지나고, 근을 하나 지날 때마다 값의 부호가 바뀐다¹.

정의

계수 $a_0, \dots, a_n \in \mathbb{R}$($\in$은 “~에 속한다”), $a_n \ne 0$인 $p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$을 $n$차 다항식이라 하고 $\deg p = n$으로 쓴다. $p(r) = 0$인 수 $r$을 $p$의 근(root, zero)이라 한다².

정리

나머지 정리. $p(x)$를 $(x - a)$로 나눈 나머지는 $p(a)$다.
인수정리. $p(a) = 0$이면 $(x - a)$는 $p(x)$의 인수이고, 그 역도 맞는다.
근의 개수. $n \ge 1$차 다항식의 서로 다른 실근은 많아야 $n$개다.
근의 공식. $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$)의 근은 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$다. 판별식 $D = b^2 - 4ac$가 양수면 서로 다른 실근이 둘, $0$이면 중근 하나, 음수면 실근이 없다².

증명

$(x - a)$는 1차이므로 나머지는 상수 $r$이다. $p(x) = (x - a)q(x) + r$에 $x = a$를 넣으면 $p(a) = r$이다.
1에서 $p(a) = 0$이면 $p(x) = (x - a)q(x)$다. 거꾸로 $p(x) = (x - a)q(x)$이면 $p(a) = 0 \cdot q(a) = 0$이다.
[증명 스케치] 서로 다른 근 $r_1, \dots, r_k$가 있다고 하자. 인수정리로 $(x - r_1)$을 떼어 내면 몫 $q_1$이 남는다. $r_2 \ne r_1$이므로 $0 = p(r_2) = (r_2 - r_1)q_1(r_2)$에서 $q_1(r_2) = 0$이다. 같은 방법으로 $(x - r_2), \dots, (x - r_k)$를 차례로 떼면 $p(x) = (x - r_1)\cdots(x - r_k)\,q(x)$이고 $q \ne 0$이다. 차수를 비교하면 $k \le n$이다.
완전제곱으로 바꾼다. $a \ne 0$으로 나누고 정리하면 $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$이다. 양변의 제곱근을 취하면 공식이 나온다. ∎

flowchart LR
  R["나머지 정리: 나머지는 p(a)"] --> F["인수정리: p(a) = 0 이면 x − a 가 인수"]
  F --> N["근의 개수: n차면 실근 n개 이하"]
  N --> U["보간의 유일성: 점 n + 1개면 n차 이하 다항식 하나"]
  F --> S["조립제법으로 근 하나씩 떼어 내기"]

화살표는 “앞의 사실을 써서 뒤의 사실을 보인다”는 뜻이다. 근을 찾아 식을 쪼개는 계산과, 근이 너무 많을 수 없다는 사실이 모두 인수정리 하나에서 갈라져 나온다³.

복소수까지 허용하면 $n$차 다항식은 중복을 세어 정확히 $n$개의 근을 가진다(대수학의 기본정리)⁴. [증명 생략: 복소해석의 결과] 판별식이 음수인 이차방정식도 복소수 근은 두 개다.

$그림$

세 포물선은 모양이 같고 높이만 다르다. 판별식이 양수면 가로축과 두 번 만나고, 0이면 한 번 닿고, 음수면 가로축 위에 떠 있어서 실근이 없다¹.

예제

보간의 유일성. 세 점 $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 7)$을 지나는 2차 이하 다항식을 찾는다.

틀 세우기: $p(x) = ax^2 + bx + c$.
점 대입: $c = 1$, $a + b + c = 3$, $4a + 2b + c = 7$.
풀기: $a + b = 2$, $4a + 2b = 6$에서 $a = 1$, $b = 1$. 그래서 $p(x) = x^2 + x + 1$.
하나뿐인 이유: 같은 세 점을 지나는 2차 이하 다항식 $q$가 또 있으면 $p - q$는 2차 이하인데 근이 $0, 1, 2$로 세 개다. 정리 3에 따라 $p - q$는 0이 아닌 다항식일 수 없으므로 $p = q$다.

일반적으로 $x$좌표가 서로 다른 $n + 1$개 점을 지나는 $n$차 이하 다항식은 정확히 하나다.

검증: 예시의 조립제법과 근, 무작위 다항식 2,000개에서 나머지 = $p(a)$, 무작위 300세트에서 라그랑주 보간과 연립방정식 풀이의 계수 일치(실험으로 확인됨), 호너 계산 과정, 근의 공식의 수치 오차 — 04_polynomial_verify.py

활용

호너 방법. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = ((2x - 3)x + 4)x - 5$로 묶으면 곱셈 $n$번과 덧셈 $n$번으로 값을 구한다. 문자열 해시(롤링 해시)는 문자 코드를 계수로 둔 다항식을 이 방법으로 계산한다⁵.
보간. $n + 1$개 점이 다항식을 하나로 정한다는 성질은 비밀 분산(샤미르)과 오류 정정 부호(리드-솔로몬, QR 코드에 쓰임)의 바탕이다. 실제로는 실수 대신 유한체 위에서 계산한다⁵.
복잡도 식. $3n^2 + 5n + 7$처럼 비용이 다항식으로 나오면, $n$이 클 때 최고차항이 지배한다. 이것이 점근 표기의 출발점이다.
5차 이상 방정식에는 사칙연산과 거듭제곱근만으로 된 일반 근의 공식이 없다(아벨-루피니 정리)⁶. 그래서 뉴턴 방법 같은 수치 해법을 쓴다.

연결

선수: 함수
이어지는 개념: 거듭제곱함수와 지수함수 비교, 복소수, 선형대수학의 고윳값(특성다항식의 근), 이산수학의 선형 점화식(특성방정식)

자주 하는 오해

“근의 공식을 코드로 그대로 옮기면 정확한 답이 나온다”

틀렸다. 수학적으로 맞는 공식이니 컴퓨터도 맞게 계산할 것 같다. 실제로는 $b^2$이 $4ac$보다 훨씬 크면 $-b$와 $\sqrt{b^2 - 4ac}$가 거의 같은 수가 되고, 둘을 빼는 순간 유효숫자가 사라진다. $x^2 + 10^8 x + 1 = 0$의 작은 근은 약 $-1.0 \times 10^{-8}$인데, 공식 그대로 배정밀도로 계산하면 $-7.45 \times 10^{-9}$이 나와 25% 틀린다. 빼기가 없는 쪽 근 $x_1 = \dfrac{-b - \operatorname{sign}(b)\sqrt{D}}{2a}$를 먼저 구하고, 근의 곱이 $c/a$라는 성질로 $x_2 = \dfrac{c}{a x_1}$을 구하면 정확하다.

확인 문제

C1 p(x) = x³ − 2x² − 5x + 6의 근을 모두 구하라.

답: $p(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$이므로 $(x - 1)$로 나누면 $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. 근은 $-2, 1, 3$이다.

흔한 오답: 조립제법에서 계수의 부호를 잘못 옮기는 것. 빠진 차수가 있으면 계수 $0$을 적어야 한다.

C2 x좌표가 서로 다른 세 점을 지나는 2차 이하 다항식이 둘일 수 없는 이유를 인수정리로 설명하라.

답: 두 개 $p$, $q$가 있으면 $p - q$는 2차 이하이고 세 점의 $x$좌표에서 모두 $0$이다. 0이 아닌 2차 이하 다항식은 근이 많아야 2개이므로 $p - q$는 0이고 $p = q$다.

C3 호너 방법으로 2x³ − 3x² + 4x − 5의 x = 2에서의 값을 구하라. 각 단계의 중간값을 쓰라.

답: $2 \to 2 \cdot 2 - 3 = 1 \to 1 \cdot 2 + 4 = 6 \to 6 \cdot 2 - 5 = 7$. 값은 $7$이고 곱셈은 3번이다. 전개식으로도 $16 - 12 + 8 - 5 = 7$이다.

04_polynomial_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값($p(1) = p(2) = p(3) = 0$, $p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$, 판별식 16, 0, −8과 첫 식의 근 −1, 3)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
OpenStax, Precalculus 2e, 3.2절 “Quadratic Functions”, 3.3절 “Power Functions and Polynomial Functions”, 3.5절 “Dividing Polynomials”, 3.6절 “Zeros of Polynomial Functions” ↩ ↩²
정의의 정리 1~3과 그 증명, 예시로 보기의 조립제법, 예제의 보간 유일성 논증이 서로 무엇을 쓰는지를 근거로 그렸다(OpenStax, Precalculus 2e, 3.5~3.6절). ↩
OpenStax, Precalculus 2e, 3.6절 “Zeros of Polynomial Functions”(대수학의 기본정리와 일차 인수 분해 정리) ↩
호너 방법, 롤링 해시, 샤미르 비밀 분산, 리드-솔로몬 부호는 다항식이 컴퓨터공학에서 쓰이는 곳을 보이려고 넣었다. 롤링 해시는 라빈-카프 문자열 탐색에서 쓴다. ↩ ↩²
아벨-루피니 정리는 5차 이상 방정식의 일반 공식이 없다는 뜻이다. 특정한 5차 방정식은 근호로 풀리기도 한다. 증명은 갈루아 이론의 범위다. ↩