요약

원점을 지나는 직선이나 평면처럼, 안에서 더하고 늘여도 밖으로 나가지 않는 “평평한 공간”이 부분공간이다. 그 공간의 모든 점을 빠짐없이, 그리고 겹침 없이 만들어 내는 최소한의 벡터 모음이 기저이고, 기저에 든 벡터의 개수가 차원이다. 기저를 정하면 공간의 모든 점에 좌표(계수)가 하나씩 붙는다. 기저를 고르는 방법은 무수히 많지만 개수는 늘 같아서, 차원은 공간 자체의 성질이다.

예시로 보기

\(\mathbb{R}^3\)(\(\mathbb{R}\)은 실수 전체, \(\mathbb{R}^n\)은 실수 \(n\)개짜리 목록 전체)에서 세 성분의 합이 0인 벡터들, 곧 평면 \(x + y + z = 0\)을 본다. 두 벡터가 이 평면에 있으면 합과 스칼라배도 성분 합이 0이라 평면을 벗어나지 않는다. 원점도 들어 있다.

평면 위의 벡터 \((x, y, z)\)는 \(z = -x - y\)라 \((x, y, -x - y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1)\)로 쓸 수 있다. 두 벡터 \((1, 0, -1)\), \((0, 1, -1)\)은 평면을 빠짐없이 만들고(생성), 서로 평행하지 않다(독립). 그래서 이 평면의 기저이고 차원은 2다. 예를 들어 \((2, 3, -5)\)의 좌표는 \((2, 3)\)이다. 평면이 아래 정의의 부분공간 \(V\), 두 벡터가 기저다.

그림

그물은 평면 \(x + y + z = 0\)이다. \(\mathbf{b}_1\)을 2번, \(\mathbf{b}_2\)를 3번 이어 붙이면(점선) \((2, 3, -5)\)에 닿고, 가는 길 전체가 평면 밖으로 나가지 않는다1.

정의

정의
  • \(\mathbb{R}^n\)의 부분집합 \(V\)가 \(\mathbf{0}\)을 포함하고, 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있으면(\(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\), \(c \in \mathbb{R}\)이면 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}, c\mathbf{u} \in V\)) 부분공간이다.
  • \(V\)의 기저는 \(V\)를 생성하는 선형독립인 벡터 모음이다.
  • \(V\)의 차원 \(\dim V\)는 기저에 든 벡터의 개수다. \(\{\mathbf{0}\}\)의 차원은 0이다2.

동치인 다른 정의. \(V\)의 벡터 모음 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}\)에 대해 다음은 같다.

  1. \(\mathcal{B}\)는 기저다(생성하고 독립).
  2. \(V\)의 모든 벡터가 \(\mathcal{B}\)의 선형결합으로 정확히 한 가지 방법으로 쓰인다.
  3. \(\mathcal{B}\)는 \(V\)를 생성하는 모음 중 가장 작다(하나라도 빼면 생성하지 못한다).
  4. \(\mathcal{B}\)는 \(V\)의 독립인 모음 중 가장 크다(하나라도 더하면 종속이 된다).

설계 이유. 생성은 “빠짐없이”, 독립은 “겹침 없이”를 보장한다. 둘을 함께 요구하면 좌표가 존재하고(생성) 하나로 정해진다(독립). 그래서 부분공간의 점을 숫자 \(k\)개로 다룰 수 있다.

해당하는 예: \(\mathbb{R}^n\) 전체(표준 기저 \(\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\), 차원 \(n\)), 원점을 지나는 직선(차원 1), 위의 평면(차원 2). 해당하지 않는 예: 직선 \(y = x + 1\)은 원점을 지나지 않아 부분공간이 아니다. \(\{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\}\)은 \(\mathbb{R}^2\)를 생성하지만 종속이라 기저가 아니다.

차원은 잘 정의된다

부분공간 \(V\)의 기저는 여러 개일 수 있지만, 모든 기저는 벡터의 개수가 같다.

증명

핵심은 “벡터 \(k\)개로 생성되는 공간에서는 \(k\)개보다 많은 벡터가 늘 종속”이라는 보조정리다.

증명 펼치기

보조정리. \(V = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}\)이고 \(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m \in V\), \(m > k\)이면 \(\mathbf{w}\)들은 종속이다.

  1. \(\mathbf{w}\)를 \(\mathbf{v}\)로 쓰기: 각 \(\mathbf{w}_j = \sum_i a_{ij}\mathbf{v}_i\). 계수를 모은 \(k \times m\) 행렬 \(A = (a_{ij})\)에 대해 \(W = VA\)(\(V\), \(W\)는 벡터들을 열로 세운 행렬)다.
  2. \(A\)의 영공간: \(A\)는 열(\(m\))이 행(\(k\))보다 많아 \(A\mathbf{c} = \mathbf{0}\)에 0이 아닌 해가 있다(너무 많으면 종속과 같은 이유).
  3. 결론: 그 \(\mathbf{c}\)에 대해 \(W\mathbf{c} = VA\mathbf{c} = \mathbf{0}\). 곧 \(\mathbf{w}\)들의 0이 아닌 결합이 \(\mathbf{0}\)이다.

정리. 두 기저 \(\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}\), \(\{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m\}\)이 있다고 하자. \(\mathbf{w}\)들은 독립이고 \(\mathbf{v}\)들이 생성하는 공간에 있으므로 보조정리로 \(m \le k\). 역할을 바꾸면 \(k \le m\). 그래서 \(k = m\). ∎

동치 조건 2는 선형독립의 “계수가 하나뿐” 동치에서 바로 나온다.

스스로 설명해 보기

1. 보조정리 1단계의 \(W = VA\)는 어떤 뜻인가?

행렬 곱의 열 관점이다. \(VA\)의 \(j\)번째 열은 \(V\)의 열들을 \(A\)의 \(j\)열 계수로 섞은 \(\sum_i a_{ij}\mathbf{v}_i = \mathbf{w}_j\)다.

2. 정리에서 보조정리를 “두 번” 쓰는 이유는?

한 번은 “\(\mathbf{v}\)들이 생성하고 \(\mathbf{w}\)들이 독립”이라 \(m \le k\), 다른 한 번은 역할을 바꿔 \(k \le m\)을 얻는다. 기저는 생성과 독립을 모두 가져서 양쪽 방향을 다 쓸 수 있다.

이 증명의 핵심 아이디어는?

독립인 벡터의 개수는 생성하는 벡터의 개수를 넘을 수 없다. 기저는 둘 다라서 개수가 한 가지로 고정된다.

같은 생각을 쓰는 다른 상황은?

랭크가 소거 순서와 상관없이 정해지는 이유, 신장 트리의 간선 수가 어떤 신장 트리를 골라도 \(n - 1\)인 것과 같은 모양의 “최소 = 최대” 논증이다.

예제

\(V = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + x_2 = 0,\ x_3 = 2x_4\}\)의 기저와 차원.

  1. 자유로운 값 고르기: \(x_2 = s\), \(x_4 = t\)로 두면 \(x_1 = -s\), \(x_3 = 2t\).
  2. 벡터로 나누기: \((-s, s, 2t, t) = s(-1, 1, 0, 0) + t(0, 0, 2, 1)\).
  3. 판정: 두 벡터가 \(V\)를 생성하고, 서로 다른 자리에 0이 아닌 성분이 있어 독립이다. 기저이고 \(\dim V = 2\).
검증: 예시 평면의 닫힘과 기저·좌표 \((2, 3)\), 예제의 기저, 무작위 부분공간에서 서로 다른 기저 두 개의 개수가 같음, 보조정리(\(m > k\)면 종속, 무작위), 동치 조건(좌표 유일성, 최소 생성, 최대 독립), 합집합이 부분공간이 아님 — 10_basis-dimension_verify.py

활용

  • 데이터의 진짜 차원. 1000차원 데이터라도 점들이 50차원 부분공간 근처에 몰려 있으면 좌표 50개로 거의 손실 없이 나타낼 수 있다. 그 부분공간을 찾는 것이 주성분 분석이다(특잇값 분해).
  • 좌표계 선택. 같은 공간도 기저에 따라 좌표가 달라진다. 계산이 쉬워지는 기저를 고르는 것이 기저 변환이다.
  • 자유도. 기저의 크기는 “마음대로 정할 수 있는 수의 개수”다. 소거에서 자유변수의 개수가 해 공간의 차원이다.
  • 알고리즘에서: 간선 a–b를 ‘a 칸 1, b 칸 −1, 나머지 0’인 벡터로 적으면, 고리가 없는 간선 모음이 곧 선형독립인 모음이다. 최소 신장 트리의 크루스칼은 싼 간선부터 보며 이미 고른 간선들과 독립인 것만 남기니, 기저를 하나씩 모으는 셈이다. 그래서 점이 \(n\)개인 연결 그래프면 끝났을 때 간선이 늘 \(n - 1\)개다.

연결

자주 하는 오해

“공간마다 기저는 하나로 정해져 있다”

틀렸다. 표준 기저 \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\)를 먼저 배워서 기저가 공간에 붙어 있는 것처럼 느껴진다. 하지만 \(\mathbb{R}^2\)에서 평행하지 않은 아무 두 벡터, 예를 들어 \((1, 1)\)과 \((1, -1)\)도 기저다. 기저는 무수히 많고, 정해져 있는 것은 개수(차원)뿐이다. 그래서 문제에 맞는 기저를 고르는 것이 선형대수의 중요한 기술이 된다.

확인 문제

C1 부분공간, 기저, 차원의 정의를 쓰라.

답: 부분공간은 \(\mathbf{0}\)을 포함하고 덧셈·스칼라배에 닫힌 집합. 기저는 그 공간을 생성하는 선형독립인 벡터 모음. 차원은 기저의 벡터 개수.

C2 \(\{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\)의 기저를 하나 쓰고 차원을 구하라.

답: \((1, 0, -1)\), \((0, 1, -1)\)(또는 \((1, -1, 0)\), \((1, 0, -1)\) 등). 차원 2.

C3 기저가 주어지면 각 벡터의 좌표가 하나로 정해지는 이유는?

답: 생성하므로 좌표가 있다. 두 좌표 \(\mathbf{c}\), \(\mathbf{d}\)가 있다면 \(\sum(c_i - d_i)\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)이고, 기저가 독립이라 \(c_i = d_i\)다.

C4 두 부분공간의 합집합이 부분공간이 아닌 예를 들라.

답: \(x\)축과 \(y\)축의 합집합. \((1, 0)\)과 \((0, 1)\)은 들어 있지만 합 \((1, 1)\)은 어느 축에도 없어 덧셈에 닫혀 있지 않다.

  1. 10_basis-dimension_plot.py로 그렸고, \(2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 = (2, 3, -5)\)와 그 성분 합이 0인 것을 같은 코드로 확인했다. ↩

  2. Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 3.1절 “Spaces of Vectors”(부분공간), 3.4절 “Independence, Basis and Dimension”(기저, 차원, 모든 기저의 크기가 같음). ↩