사용 개념: 가우스 소거법, 행렬과 행렬-벡터 곱.

이 방법을 떠올리는 신호는 미지수 여러 개에 대한 일차식 여러 개다. 식의 개수와 상관없이 같은 절차로 해가 있는지, 몇 개인지, 무엇인지를 모두 얻는다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 첨가행렬 쓰기: 계수와 우변을 \([A \mid \mathbf{b}]\)로 적는다. 없는 항은 0.
  2. 전진 소거: 왼쪽 열부터 피벗을 정하고(0이면 아래 행과 바꾼다) 그 아래를 0으로 만든다.
  3. 해의 종류 판정: \([0 \cdots 0 \mid c \ne 0]\) 줄이 있으면 해 없음. 피벗 없는 열이 있으면 그 변수는 자유변수.
  4. 후진 대입과 검산: 아래에서부터 풀고, 원래 식에 넣어 확인한다.

문제 1 · 완전한 풀이

\(x + 2y + z = 2\), \(3x + 8y + z = 12\), \(4y + z = 2\).

  1. 첨가행렬: \(\left[\begin{smallmatrix}1 & 2 & 1 & \mid & 2\\ 3 & 8 & 1 & \mid & 12\\ 0 & 4 & 1 & \mid & 2\end{smallmatrix}\right]\).
  2. 전진 소거: 2행 \(-\) 3 × 1행 → \((0, 2, -2 \mid 6)\). 3행 \(-\) 2 × 2행 → \((0, 0, 5 \mid -10)\).
  3. 판정: 피벗 1, 2, 5가 세 열 모두에 있다. 해가 하나다.
  4. 후진 대입과 검산: \(z = -2\), \(y = \frac{6 + 2z}{2} = 1\), \(x = 2 - 2y - z = 2\). \(3 \cdot 2 + 8 \cdot 1 - 2 = 12\), \(4 - 2 = 2\).

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(x + 2y = 5\), \(3x + 4y = 6\).

  1. 첨가행렬: \(\left[\begin{smallmatrix}1 & 2 & \mid & 5\\ 3 & 4 & \mid & 6\end{smallmatrix}\right]\).
  2. 전진 소거: 2행 \(-\) 3 × 1행 → \((0, -2 \mid -9)\).
  3. 판정: 피벗 1, \(-2\). 해가 하나다.
  4. 후진 대입과 검산: __
답

\(y = \frac{-9}{-2} = 4.5\), \(x = 5 - 2(4.5) = -4\). 검산 \(3(-4) + 4(4.5) = -12 + 18 = 6\).

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(x + y + z = 1\), \(x + 2y + 3z = 2\), \(2x + 3y + 4z = 4\).

  1. 첨가행렬: \(\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & \mid & 1\\ 1 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 2 & 3 & 4 & \mid & 4\end{smallmatrix}\right]\).
  2. 전진 소거: 2행 \(-\) 1행 → \((0, 1, 2 \mid 1)\). 3행 \(-\) 2 × 1행 → \((0, 1, 2 \mid 2)\).
  3. 판정: __
  4. 후진 대입과 검산: __
답
  1. 3행 \(-\) 2행 → \((0, 0, 0 \mid 1)\), 즉 \(0 = 1\). 해가 없다.
  2. 대입할 해가 없다. 식으로 보면 셋째 식의 좌변은 첫째와 둘째 식 좌변의 합인데(\(2x + 3y + 4z\)), 우변은 \(1 + 2 = 3\)이 아니라 4라 모순이다.

문제 4 · 독립 문제

\(x + y + z = 2\), \(x + 2y + 3z = 3\), \(2x + 3y + 4z = 5\)의 모든 해를 구하라.

답

소거하면 \((0, 1, 2 \mid 1)\)이 두 번 나오고 셋째 줄은 \((0, 0, 0 \mid 0)\)이다. 셋째 열에 피벗이 없어 \(z = t\)가 자유변수다. \(y = 1 - 2t\), \(x = 2 - y - z = 1 + t\). 모든 해는 \((x, y, z) = (1, 1, 0) + t(1, -2, 1)\), \(t \in \mathbb{R}\)(\(\in\)은 “~에 속한다”)이다. 방향 \((1, -2, 1)\)은 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)의 해다.

흔한 오답: 문제 3과 좌변이 같으니 “해 없음”이라고 쓰는 것. 우변이 \(2 + 3 = 5\)로 맞아 모순이 생기지 않는다.

변형 문제

\(y = 1\), \(x + y = 3\)을 \(\left[\begin{smallmatrix}0 & 1 & \mid & 1\\ 1 & 1 & \mid & 3\end{smallmatrix}\right]\)로 소거하려는데 첫 피벗 자리가 0이다. 어떻게 하는가?

답

두 행을 바꾼다. \(\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & \mid & 3\\ 0 & 1 & \mid & 1\end{smallmatrix}\right]\)이 되어 바로 위삼각꼴이다. \(y = 1\), \(x = 2\). 행 바꾸기도 해를 바꾸지 않는 기본 행 연산이다.

검증: 모든 문제를 유리수 소거로 풀어 판정과 해를 비교, 문제 4의 일반해를 여러 \(t\)에서 대입 — 05_gaussian-elimination_verify.py

  1. Strang, Introduction to Linear Algebra 5판, 2.2절 “The Idea of Elimination”(행 바꾸기가 필요한 경우 포함), 3.3절 “The Complete Solution to Ax = b”(특수해 + 영공간). ↩