사인파는 원 위를 일정하게 도는 점의 그림자다. 그림자 하나만 보면 높이만 남지만, 도는 점 자체를 적으면 높이와 함께 어느 방향으로 얼마나 돌았는지도 남는다. 평면 위의 점을 숫자 하나로 적는 방법이 복소수라서, 파동을 복소수로 쓰면 크기·빠르기·출발 각도가 한 식에 깔끔하게 들어간다. 다만 실제로 재는 소리 압력은 실수이므로, 복소수 식에서 한쪽 성분만 꺼내 써야 한다.
예시로 보기
사인파를 식으로 쓰려면 “한 바퀴”를 시간에 맞춰야 한다. 원을 한 바퀴 돌면 각도가 \(2\pi\)만큼 늘고 그림자가 한 주기를 그린다. \(\sin t\)는 \(t = 2\pi\)에서야 한 주기가 끝난다. 시간 1에서 한 주기를 끝내려면 각도를 \(2\pi t\)로 늘리고, 시간 \(T\)에서 끝내려면 \(2\pi t / T\)로 늘린다. 출발점이 \(x\)축에서 \(\phi\)만큼 돌아간 곳이면 그만큼 더한다.
\[f(t) = A\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T} + \phi\right)\]\(A = 2\), \(T = 0.5\) s, \(\phi = \pi/3\)을 넣으면 \(f(0) = 2\sin(\pi/3) \approx 1.73\)이고, \(t = 0.5\) s에서 같은 값으로 돌아온다.
그런데 높이 1.73만 보면 원 위의 점이 위로 올라가는 중인지 내려가는 중인지 모른다. 그림자를 하나 더 보면 안다. 가로 그림자 \(A\cos(\cdot)\)와 세로 그림자 \(A\sin(\cdot)\)를 함께 적으면 원 위의 점이 정해진다. 이 두 값을 복소수 하나로 묶는다.
왼쪽 원 위의 점이 시계 반대 방향으로 돈다. 점의 세로 위치를 시간에 따라 옮겨 적은 것이 오른쪽 사인 곡선이고, 가로 위치를 옮겨 적으면 코사인이 된다. 점 \(\bullet\)들은 같은 순간을 잇는다1.
정의
오일러 공식은 각도 \(\theta\)만큼 돈 단위원 위의 점을 지수 함수로 쓴다(\(i\)는 \(i^2 = -1\)인 허수 단위).
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]진폭 \(A > 0\), 주기 \(T > 0\), 위상 \(\phi\)인 파동의 복소수 표현은
\[x(t) = A\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T} + \phi\right) + iA\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T} + \phi\right) = A\,e^{i\left(\frac{2\pi t}{T} + \phi\right)}\]이다. 실제 사인파는 이 값의 허수부(세로 성분), 코사인파는 실수부(가로 성분)다.
이 식은 두 부분으로 한 번 더 나눠 쓸 수 있다.
\[x(t) = e^{(\alpha + i\phi)}\, e^{i\,2\pi t/T}\]여기서 \(\alpha = \ln A\), 곧 \(A = e^{\alpha}\)다2. 앞의 \(e^{\alpha + i\phi} = A e^{i\phi}\)는 시간과 상관없는 상수로, 크기와 출발 각도를 담는다. 뒤의 \(e^{i2\pi t/T}\)는 크기 1로 한 주기 \(T\)마다 한 바퀴 도는 부분이다. 앞의 예 \(A = 2\), \(\phi = \pi/3\)이면 \(\alpha = \ln 2 \approx 0.693\)이다.
복소수로 쓰면 두 가지가 편하다.
- 크기가 늘 일정하다. \(\vert x(t)\vert = A\)다. 실수 사인은 0과 \(A\) 사이를 오가지만, 원 위의 점은 중심에서 늘 같은 거리에 있다.
- 회전 방향이 구별된다. \(e^{+i2\pi t}\)와 \(e^{-i2\pi t}\)는 실수부(코사인)가 같아 실수 한 줄로는 구별되지 않는다. 복소수로는 하나는 시계 반대 방향, 하나는 시계 방향으로 도는 점이라 다르다. “같은 에너지지만 회전 모양이 다른 파동”을 나타내려고 복소수를 쓰는 이유다.
파동의 에너지. 구간 \(t_1 \le t \le t_2\)의 에너지는 \(\int_{t_1}^{t_2} \vert x(t)\vert ^2 dt\), 평균 에너지(전력)는 \(P_\infty = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \vert x(t)\vert ^2 dt\)다. 복소수 표현은 \(\vert x(t)\vert ^2 = A^2\)이라 전력이 \(A^2\)이고, 실수 사인 \(A\sin(\cdot)\)의 전력은 그 절반인 \(A^2/2\)다. 정의와 성질은 신호의 에너지와 전력에 있다.
활용
- 파동은 시간 영역(시점 \(t\)를 변수로)과 주기 영역(주기 \(T\)를 변수로)으로 나눠 볼 수 있다. 공간에서도 1차원은 \(f(x)\)와 \(F(\lambda_x)\), 2차원은 \(f(x, y)\)와 \(F(\lambda_x, \lambda_y)\)로 쓴다. 주기나 파장을 변수로 쓰는 쪽이 푸리에 급수·변환으로 이어진다.
- 신호 처리에서 사인파를 복소 지수로 다루는 이유도 같다. 크기와 위상을 곱셈 한 번으로 바꿀 수 있다: \(e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\). 자세한 성질은 연속 시간 복소 지수 신호에 있다.
연결
- 선수: 종파와 횡파 (빛의 흔들림이 2차원인 이유), 복소수의 극형식과 오일러 공식
- 다른 과목에서의 모습: 연속 시간 복소 지수 신호, 신호의 에너지와 전력
자주 하는 오해
틀렸다. 마이크가 재는 압력은 늘 실수다. 복소수 표현은 실제 값(허수부나 실수부 한쪽)과 “원 위 어디쯤인가”라는 정보를 함께 들고 다니려는 장부다. 실제 값이 필요할 때는 한쪽 성분을 꺼낸다. 확인 방법: \(x(t) = 2e^{i(4\pi t + \pi/3)}\)의 허수부는 \(2\sin(4\pi t + \pi/3)\)로, 우리가 처음 쓴 실수 사인파 그대로다.
확인 문제
C1 진폭 \(A\), 주기 \(T\), 위상 \(\phi\)인 사인파를 실수 식과 복소수 식으로 쓰라.
답: 실수 식 \(A\sin(2\pi t/T + \phi)\). 복소수 식 \(A e^{i(2\pi t/T + \phi)} = A\cos(2\pi t/T + \phi) + iA\sin(2\pi t/T + \phi)\). 실수 사인은 복소수 식의 허수부다.
흔한 오답: \(2\pi\)를 빼고 \(A\sin(t/T)\)로 쓰는 것. 그러면 \(t = T\)에서 한 바퀴가 끝나지 않는다.
C2 \(e^{i2\pi t}\)와 \(e^{-i2\pi t}\)는 실수부가 같다. 그런데도 복소수로 적어야 둘을 구별할 수 있는 이유를 쓰라.
답: 실수부는 둘 다 \(\cos 2\pi t\)라 실수 한 줄만 보면 같다. 허수부는 \(+\sin 2\pi t\)와 \(-\sin 2\pi t\)로 부호가 반대다. 원 위의 점으로 보면 하나는 시계 반대 방향, 하나는 시계 방향으로 돈다. 회전 방향 같은 2차원 정보는 실수 하나에 담기지 않아 복소수가 필요하다.
C3 \(x(t) = 3e^{i(2\pi t/0.01 + \pi/2)}\)의 진폭, 주기, 주파수, 위상, 그리고 \(\alpha\)를 구하라. 실수부는 어떤 함수인가?
답: 진폭 3, 주기 0.01 s, 주파수 100 Hz, 위상 \(\pi/2\), \(\alpha = \ln 3 \approx 1.10\). 실수부는 \(3\cos(200\pi t + \pi/2) = -3\sin(200\pi t)\)다.
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24_complex-wave_plot.py로 그렸고, 점의 세로 위치가 \(\sin\), 가로 위치가 \(\cos\)와 같은지를 같은 코드로 확인했다. ↩
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\(Ae^{i\phi} = e^{\alpha + i\phi}\)가 되려면 \(A = e^\alpha\), 곧 \(\alpha = \ln A\)여야 한다. 계산은 검증 코드로 확인했다. ↩