영상 처리에서 자주 쓰는 평면 위의 기본 모양들이다. 네모난 판, 둥근 판, 칼날처럼 얇은 선, 바늘 하나, 바늘을 일정 간격으로 꽂은 바늘 판이 있다. 네모난 판처럼 “가로 모양 × 세로 모양”으로 쪼개지는 함수(분리 가능)는 1차원 계산 두 번으로 처리할 수 있어 빠르다. 하지만 둥근 판처럼 쪼개지지 않는 모양도 있고, 이런 모양은 극좌표로 쓰면 오히려 간단해진다.
예시로 보기
1차원 함수는 \(x\) 하나를 넣으면 값 하나가 나온다. 사진처럼 평면에 펼쳐진 것을 다루려면 변수가 둘인 함수 \(z = f(x, y)\)가 필요하다. \(x\)와 \(y\)가 서로 아무 관계 없이 따로 움직일 수 있으면(독립 변수) 진짜 2차원 함수다. \(y = 2x\)처럼 한쪽이 다른 쪽에 묶여 있으면 사실은 \(x\) 하나의 1차원 함수로 바꿔 쓸 수 있다.
가로 \(a\), 세로 \(b\)인 네모난 판을 생각하자. 가로로 잘라 보면 폭 \(a\)인 1차원 사각 펄스, 세로로 잘라 보면 폭 \(b\)인 사각 펄스다. 그리고 판 전체는 이 둘을 곱한 것이다.
\[\mathrm{rect}\!\left(\frac{x}{a}, \frac{y}{b}\right) = \mathrm{rect}\!\left(\frac{x}{a}\right)\mathrm{rect}\!\left(\frac{y}{b}\right)\]\(x\)가 판 안(\(\vert x\vert < a/2\))이고 \(y\)도 판 안이면 \(1 \times 1 = 1\), 어느 하나라도 밖이면 0이다. 경계에서는 1차원 사각 펄스의 경계값 1/2이 곱해져, 변 위에서는 1/2, 모서리에서는 \(1/2 \times 1/2 = 1/4\)이다.
둥근 판(원판)은 다르다. 반지름 1인 원판에서 \((0.8, 0)\)과 \((0, 0.8)\)은 안이라 값이 1이다. 원판이 “가로 모양 × 세로 모양”이라면 \((0.8, 0.8)\)도 1이어야 하는데, 이 점은 중심에서 약 1.13 떨어져 원판 밖이다. 그래서 원판은 \(x\), \(y\)로 쪼갤 수 없다1.
정의
분리 가능: \(f(x, y)\)가 \(x\)만의 함수와 \(y\)만의 함수의 곱 \(f(x, y) = f_1(x)f_2(y)\)이면 분리 가능하다.
영상 처리에서 자주 쓰는 기본 함수:
| 이름 | 식 | 모양 |
|---|---|---|
| 사각 함수 | \(f(x, y) = 1\) (\(\lvert x \rvert \le a\)이고 \(\lvert y \rvert \le b\)), 그 밖은 0 | 네모난 판 |
| 원판 함수 | \(f(x, y) = 1\) (\(\sqrt{x^2 + y^2} \le R\)), 그 밖은 0 | 둥근 판 |
| 델타 시트 | \(f(x, y) = \delta(x)\) 또는 \(\delta(y)\) | 한 축을 따라 선 칼날 |
| 2차원 델타 함수 | \(f(x, y) = \delta(x)\delta(y) = \delta(x, y)\) | 원점의 바늘 하나 |
| 옮긴 델타 | \(\delta(x - x_0, y - y_0)\) | \((x_0, y_0)\)의 바늘 하나 |
| 블레이드 | \(\delta(y - y_0)\) | \(y = y_0\)를 따라 선 칼날 |
| 그릴 | \(\mathrm{comb}(y/b)\) | 간격 \(b\)로 늘어선 칼날들 |
| 그리드 | \(\mathrm{comb}\!\left(\frac{x}{a}, \frac{y}{b}\right) = \lvert a\rvert\lvert b\rvert\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(x - na, y - mb)\) | 간격 \(a\), \(b\)로 꽂은 바늘 판 |
여기서 \(\delta\)는 단위 임펄스다. 넓이가 1이고 한 점에 몰린 바늘로 생각하면 된다. 2차원 델타 \(\delta(x)\delta(y)\)는 두 칼날 \(\delta(x)\)와 \(\delta(y)\)가 겹치는 원점에만 남은 바늘이다. 그리드의 앞에 붙은 \(\vert a\vert \vert b\vert\)는 \(\delta(x/a) = \vert a\vert \delta(x)\)라는 성질에서 나온다2.
flowchart LR
SX["델타 시트 δ(x)"] -- "곱하기" --> D["2차원 델타 δ(x, y)"]
SY["델타 시트 δ(y)"] -- "곱하기" --> D
D -- "(x0, y0)로 옮기기" --> DS["옮긴 델타"]
DS -- "간격 a, b로 되풀이" --> GD["그리드"]
SY -- "y0로 옮기기" --> BL["블레이드 δ(y - y0)"]
BL -- "간격 b로 되풀이" --> GR["그릴"]
위 줄은 바늘 하나에서 바늘 판으로, 아래 줄은 칼날 하나에서 칼날 여러 개로 간다. 두 줄 모두 옮기기와 되풀이만으로 만들어진다.
사각 함수는 자료마다 표기가 다르다. 위 표처럼 \(\vert x\vert \le a\)로 쓰면 \(a\)가 반폭이다. \(\mathrm{rect}(x/a)\)로 쓰면 \(a\)가 전체 폭이고 경계값은 1/2이다. 같은 기호라도 \(a\)가 반폭인지 전체 폭인지 먼저 확인한다.
극좌표. 평면의 점을 원점에서의 거리 \(r\)과 각도 \(\theta\)로 적을 수도 있다.
\[f_p(\theta, r) \equiv f(x, y), \qquad r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \theta = \arctan\frac{y}{x}\]원판 함수는 극좌표로 쓰면 \(r\) 하나만의 함수 \(f_p(\theta, r) = 1\) (\(r \le \vert R\vert\))이 된다. 각도와 상관없으니 직교 좌표에서 쪼갤 수 없던 모양이 극좌표에서는 변수 하나로 줄어든다. 단, \(\arctan(y/x)\)는 \((1, 1)\)과 \((-1, -1)\)을 같은 각으로 보낸다. 사분면까지 가리려면 프로그램에서는 atan2(y, x)를 쓴다3.
두 변수의 관계. \(x\)와 \(y\)의 관계를 나타내는 값으로 내적과 상관관계를 쓴다. 내적이 0이면 두 벡터는 직교한다. 상관관계가 0이면 무상관이다. 무상관은 독립보다 약한 말이다. 독립이면 상관관계가 0이지만, 상관관계가 0이라고 독립인 것은 아니다. 상관은 직선 관계만 재기 때문이다4. 내적과 직교는 내적과 노름, 상관은 공분산과 상관계수에 있다.
활용
- 분리 가능한 함수는 2차원 계산을 1차원 두 번으로 나눌 수 있다. \(k \times k\) 창으로 영상을 처리할 때 픽셀마다 곱셈 \(k^2\)번 대신 \(2k\)번이면 된다: 2차원 합성곱5.
- 옮긴 델타 \(\delta(x - x_0, y - y_0)\)와 합성곱하면 영상이 \((x_0, y_0)\)만큼 옮겨 간다. 그리드는 같은 무늬를 일정 간격으로 찍어 내는 도장 판이다.
연결
- 선수: 이미지 함수, 단위 임펄스와 단위 계단
- 극좌표: 극좌표와 매개변수 곡선
- 이 함수들을 합성곱에 넣기: 2차원 합성곱
자주 하는 오해
틀렸다. 가로 단면과 세로 단면을 곱하면 언제나 네모난 영역이 나온다. 가로로 안이고 세로로도 안인 점이 모두 안이 되기 때문이다. 원판은 모서리 쪽 \((0.8, 0.8)\)이 밖이라 이 성질이 깨진다. 확인 방법: 분리 가능하다면 \(f(x, y)f(0, 0) = f(x, 0)f(0, y)\)가 모든 점에서 맞아야 한다. 원판에서 \((0.8, 0.8)\)을 넣으면 왼쪽 0, 오른쪽 1이다.
틀렸다. 상관이 0이면 “서로 상관없다”는 말처럼 들려서 그럴듯하다. 실제로 상관은 직선 관계만 잰다. 곡선 관계가 있어도 상관은 0이 나올 수 있다. 확인 방법: \(X\)가 \(-1, 0, 1\)을 각각 1/3 확률로 갖고 \(Y = X^2\)이면 \(\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X^3] = 0\), \(\mathbb{E}[X] = 0\)이라 공분산이 0이다. 그런데 \(X = 0\)이면 \(Y = 0\)으로 정해진다. \(\Pr[X = 0, Y = 0] = 1/3\)이고 \(\Pr[X = 0]\Pr[Y = 0] = 1/9\)라서 독립이 아니다.
확인 문제
C1 분리 가능한 2차원 함수의 정의를 쓰고, 2차원 사각 함수를 1차원 사각 함수로 나타내라.
답: \(f(x, y) = f_1(x)f_2(y)\)로 쓸 수 있으면 분리 가능하다. \(\mathrm{rect}(x/a, y/b) = \mathrm{rect}(x/a)\,\mathrm{rect}(y/b)\).
C2 “상관관계가 0이면 독립이다”의 반례를 만들라.
답: \(X\)가 \(-1, 0, 1\)을 각각 1/3 확률로 갖고 \(Y = X^2\). \(\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X^3] = 0\), \(\mathbb{E}[X] = 0\)이라 공분산 0. 그런데 \(X = 0\)이면 \(Y = 0\)으로 정해지므로 독립이 아니다(\(1/3 \ne 1/9\)).
흔한 오답: \(Y = 2X\)처럼 직선 관계를 고르는 것. 그러면 상관이 1이라 반례가 안 된다.
C3 반지름 2인 원판 함수를 직교 좌표 식과 극좌표 식으로 쓰고, 어느 쪽이 변수 하나로 줄어드는지 쓰라.
답: 직교 좌표: \(f(x, y) = 1\) (\(\sqrt{x^2 + y^2} \le 2\)), 그 밖은 0. 극좌표: \(f_p(\theta, r) = 1\) (\(r \le 2\)), 그 밖은 0. 극좌표 식은 \(\theta\)와 상관없어 \(r\) 하나의 함수다.