사용 개념: 삼색 이론의 반응 \(r_k = \sum_\lambda i(\lambda)\,\sigma_k(\lambda)\)(\(\sum\)은 차례로 모두 더한다는 기호), 조건등색의 판정 “세 반응이 모두 같다”.

빛을 파장 칸 네 개의 세기로 나타낸 장난감 세계다. 추상체 민감도 표는 모든 문제에 같다1.

추상체 칸 1 칸 2 칸 3 칸 4
S 6 3 0 0
M 2 5 6 4
L 0 1 4 6

이 기법을 떠올리는 신호는 “스펙트럼(칸별 세기)이 다른 두 빛이 같은 색으로 보이는가”를 묻는 문제다. 풀이는 늘 같은 하위목표로 나뉜다. 각 빛의 세 반응을 표의 행과 곱해 더해 구하고, 세 반응을 비교한다.

문제 1 · 완전한 풀이

빛 P = (1, 2, 1, 1)과 빛 Q = (2, 0, 3, 0)은 조건등색인가?

답
  1. 반응 계산법 세우기: 추상체 \(k\)의 반응 = (표의 \(k\) 행) · (빛의 칸별 세기). 칸마다 곱해 더한다.
  2. P의 반응: S \(= 6 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 12\). M \(= 2 + 10 + 6 + 4 = 22\). L \(= 0 + 2 + 4 + 6 = 12\). → (12, 22, 12)
  3. Q의 반응: S \(= 6 \cdot 2 = 12\). M \(= 4 + 0 + 18 + 0 = 22\). L \(= 0 + 0 + 12 + 0 = 12\). → (12, 22, 12)
  4. 비교해 결론: 세 반응이 모두 같다. 스펙트럼은 다르지만(P는 네 칸 모두, Q는 칸 1·3만) 같은 색으로 보이는 조건등색이다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

빛 R = (0, 2, 0, 1)과 빛 T = (1, 0, 2, 0)은 조건등색인가?

  1. 반응 계산법 세우기: 표의 행과 빛의 칸별 세기를 곱해 더한다.
  2. R의 반응: S \(= 6\). M \(= 10 + 4 = 14\). L \(= 2 + 6 = 8\). → (6, 14, 8)
  3. T의 반응: S \(= 6\). M \(= 2 + 12 = 14\). L \(= 8\). → (6, 14, 8)
  4. 비교해 결론: __
답

세 반응이 모두 (6, 14, 8)로 같으므로 조건등색이다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

빛 U = (1, 1, 1, 1)과 빛 W = (1, 1, 2, 0)은 조건등색인가? 아니라면 어느 추상체가 차이를 알아채는가?

  1. 반응 계산법 세우기: 표의 행과 빛의 칸별 세기를 곱해 더한다.
  2. U의 반응: __
  3. W의 반응: __
  4. 비교해 결론: 세 반응을 성분별로 비교한다.
답
  1. U: S \(= 9\), M \(= 17\), L \(= 11\) → (9, 17, 11)
  2. W: S \(= 9\), M \(= 2 + 5 + 12 = 19\), L \(= 1 + 8 = 9\) → (9, 19, 9)
  3. S는 같지만 M과 L이 다르다. 조건등색이 아니다. M과 L 추상체가 차이를 알아챈다.

문제 4 · 독립 문제

빛 Y = (2, 4, 1, 1)과 조건등색이면서 Y와 다른 빛을 하나 찾으라. 그런 빛은 몇 개나 있는가? (빛의 세기는 어느 칸에서도 음수가 될 수 없다.)

답

Y의 반응은 (24, 34, 14)다. 표의 세 행에 모두 곱해 0이 되는 방향 \(\mathbf{v} = (1, -2, 2, -1)\)이 있다(S: \(6 - 6 = 0\), M: \(2 - 10 + 12 - 4 = 0\), L: \(-2 + 8 - 6 = 0\)). 그래서 \(Y + t\,\mathbf{v}\)는 모두 Y와 반응이 같다.
음수 칸이 없으려면 \(2 + t \ge 0\), \(4 - 2t \ge 0\), \(1 + 2t \ge 0\), \(1 - t \ge 0\)이다. 곧 \(-\tfrac{1}{2} \le t \le 1\).
예: \(t = 1\)이면 (3, 2, 3, 0). 반응을 다시 계산하면 S \(= 18 + 6 = 24\), M \(= 6 + 10 + 18 = 34\), L \(= 2 + 12 = 14\)로 같다.
\(t\)가 그 구간의 어떤 실수여도 되므로 조건등색인 빛은 무수히 많다.

검증: 표의 계수 3과 영공간 방향 \(\mathbf{v}\), 네 문제의 반응 값, 문제 4의 허용 범위 \(-\tfrac12 \le t \le 1\)과 \(t = 1\)의 빛 — 17_metamerism_verify.py

변형 문제

  1. 빛 X = (3, 0, 0, 1)과 조건등색인 다른 빛이 이 세계에 있는가?
  2. 실제 눈에서는 조건등색이 이 장난감 세계보다 훨씬 흔하다. 칸의 개수로 이유를 쓰라.
답
  1. 없다. \(X + t\,\mathbf{v} = (3 + t,\ -2t,\ 2t,\ 1 - t)\)에서 칸 2가 음수가 아니려면 \(t \le 0\), 칸 3이 음수가 아니려면 \(t \ge 0\)이라 \(t = 0\)뿐이다. 조건등색은 “보이지 않는 방향”이 있어도 세기가 음수가 될 수 없다는 제약에 막힐 수 있다.
  2. 이 세계는 칸 4개에 추상체 3개라 보이지 않는 방향이 \(4 - 3 = 1\)개뿐이다. 실제 스펙트럼은 10 nm 간격으로만 나눠도 31칸이라 보이지 않는 방향이 28개다. 방향이 많을수록 음수 제약을 피해 갈 길이 많아 조건등색 빛이 훨씬 많다.
검증: 변형 1은 \(t\)를 −3~3에서 0.01 간격으로 훑어 \(t = 0\)만 허용됨을 확인, 변형 2의 28차원은 가우스 모형 31칸 행렬에서 확인 — 17_metamerism_verify.py

  1. 이 문서의 민감도 표와 빛은 모두 설명용 가상 수치다. 표는 조건등색 쌍이 정수로 나오도록 만들었고, 실제 추상체 민감도가 아니다. ↩