사용 개념: 뉴런의 연산 모형 \(o' = a(A\mathbf{x} + \mathbf{b})\), 뉴런의 수렴의 세 회로.

뉴런의 수렴의 세 회로와 반응 그래프를 연산 모형의 식으로 옮기는 연습이다. 공통 설정: 수용기 1~7이 한 줄로 있고, 자극받은 수용기의 출력은 1, 아니면 0이다. 자극은 4 하나, 3~5, 2~6, 1~7 네 가지다. 출력은 뉴런 B 하나라서 \(A\)는 \(1 \times 7\) 행렬, 곧 가중치 벡터 \(\mathbf{w}\)다. 바이어스는 0으로 둔다.

풀이 전략은 늘 같다. 회로 그림에서 “각 수용기가 B까지 어떤 부호로 몇 번 닿는가”를 세면 그것이 가중치다. 중간 뉴런(A, C)을 거치면 그 뉴런이 B에 닿는 부호를 곱한다. 그다음 네 자극을 넣어 그래프와 맞는지 확인한다.

문제 1 · 수렴 없는 회로

회로 1은 수용기마다 뉴런이 하나씩 있고, B는 수용기 4에만 연결된다. \(\mathbf{w}\)를 쓰고 네 자극에 대한 B를 구하라.

답
  1. 가중치 세기: B에 닿는 것은 수용기 4 하나, 흥분성. \(\mathbf{w} = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)\).
  2. 자극 넣기: 네 자극 모두 수용기 4를 포함하므로 \(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x} = 1\).
  3. 결과: \((1, 1, 1, 1)\). 그래프의 수평선과 같다. 자극이 넓어져도 B는 모른다.

문제 2 · 흥분성 수렴

회로 2는 1·2 → A, 6·7 → C로 모이고, 3·4·5와 A·C가 모두 흥분성으로 B에 닿는다. \(\mathbf{w}\)를 쓰고 네 자극에 대한 B를 구하라.

답
  1. 가중치 세기: 3·4·5는 B에 직접 +1. 1·2는 A를 거쳐 +1, 6·7은 C를 거쳐 +1. \(\mathbf{w} = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)\).
  2. 자극 넣기: B = 자극받은 수용기의 수.
  3. 결과: \((1, 3, 5, 7)\). 그래프의 직선과 같다.

문제 3 · 억제성 수렴

회로 3은 회로 2와 같되 A·C가 B에 억제성 시냅스로 닿는다. \(\mathbf{w}\)를 쓰고 네 자극에 대한 B를 구하라. 활성 함수가 없으면 어떤 문제가 생기는지도 쓰라.

답
  1. 가중치 세기: 3·4·5는 +1. 1·2·6·7은 흥분성으로 A·C에 닿지만 A·C가 B를 억제하므로 부호가 뒤집혀 −1. \(\mathbf{w} = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, -1)\).
  2. 자극 넣기: 4 → 1. 3~5 → 3. 2~6 → \(3 - 2 = 1\). 1~7 → \(3 - 4 = -1\).
  3. 활성 함수 적용: 발화율은 음수가 될 수 없으므로 \(a(o) = \max(0, o)\)를 씌운다. 1~7 → 0.
  4. 결과: \((1, 3, 1, 0)\). 그래프는 3~5에서 봉우리이고 1~7에서 0에 가까운 값이다. 활성 함수가 없으면 −1이라는 불가능한 발화율이 나온다.
검증: 세 회로의 네 값, 128가지 모든 자극에서 \(\max(0, \mathbf{w}\cdot\mathbf{x})\)와 회로 계산이 일치 — 09_neuron-convergence_verify.py

문제 4 · 가장 센 반응

회로 3에서 B가 가장 세게 반응하는 자극(자극받은 수용기의 집합)은 무엇인가? 그런 자극이 하나뿐인가?

답
  1. 상한 구하기: 양수 가중치는 3·4·5의 +1 셋뿐이라 \(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x} \le 3\).
  2. 상한에 닿는 조건: 3·4·5를 모두 자극하고, 음수 가중치 수용기(1·2·6·7)는 하나도 자극하지 않아야 한다.
  3. 결론: {3, 4, 5} 하나뿐이다. 수용장의 가운데를 딱 채우는 자극이 최대라는 중심-주변 길항의 성질이다.
검증: \(2^7 = 128\)가지 자극 전수 조사에서 최대 3은 {3, 4, 5}에서만 나옴 — 09_neuron-convergence_verify.py

변형 문제

  1. 회로 3에서 억제성 시냅스의 세기를 0.5로 줄이면(\(\mathbf{w} = (-0.5, -0.5, 1, 1, 1, -0.5, -0.5)\)) 네 자극에 대한 B는?
  2. 빛이 약해 자극받은 수용기의 출력이 0.3뿐이고, B가 발화하려면 합이 1 이상이어야 한다(문턱 1). 일곱 수용기를 모두 자극할 때 회로 1과 회로 2의 B는 발화하는가?
답
  1. \((1, 3, 2, 1)\). 2~6: \(3 - 0.5 \times 2 = 2\). 1~7: \(3 - 0.5 \times 4 = 1\). 억제가 약해지면 봉우리 뒤로 덜 떨어진다.
  2. 회로 1: 0.3 < 1이라 발화하지 않는다. 회로 2: \(7 \times 0.3 = 2.1 \ge 1\)이라 발화한다. 수렴이 약한 신호를 모아 문턱을 넘게 한다. 문턱이 있는 이 뉴런은 가중치가 모두 1이고 바이어스가 −1인 퍼셉트론과 같다.
검증: 변형 1의 (1, 3, 2, 1), 변형 2의 0.3과 2.1 — 09_neuron-convergence_verify.py