요약

빛과 소리는 모두 물결(파동)이다. 물결은 높이(진폭), 빠르기(주파수), 출발 시점(위상) 세 가지로 적는다. 같은 물결이지만 귀는 진폭을 소리 크기로, 주파수를 음높이로 읽고, 눈은 진폭을 밝기로, 주파수를 색으로 읽는다. 귀는 시간에 따른 1차원 변화를, 눈은 평면 위 2차원 분포를 정보로 쓴다는 점이 다르다.

예시로 보기

시각과 청각은 일상에서 필요한 정보 대부분을 받아들이는 감각이다. 두 매체의 본질은 파동이지만 쓰임새가 다르다.

  청각 시각
진폭 \(A\) 소리의 크기 밝기
주파수 \(f\) 음의 높낮이 색깔
정보의 표현 시간에 따른 톤의 변화 (1차원) 평면 위 밝기와 색의 변화 (2차원)

파장 500 nm인 청록빛은 1초에 약 \(6.0 \times 10^{14}\)번 진동한다. 가시광 끝의 400 nm는 약 \(7.5 \times 10^{14}\) Hz, 700 nm는 약 \(4.3 \times 10^{14}\) Hz다. 파장이 길수록 주파수는 낮다. 소리는 공기 중에서 초속 약 343 m로 가므로, 사람이 듣는 20 Hz~20 kHz는 파장 약 17 m~1.7 cm다1.

가시광은 전자기파 가운데 아주 좁은 구간이다. 전자기파를 파장이 짧은 쪽부터 늘어놓으면 감마선, X선, 자외선, 가시광(400~700 nm), 적외선, 레이더, FM, TV, AM, 교류 회로 순이다.

시각에는 주파수가 두 종류 나온다.

  빛 자체의 주파수 공간 주파수
단위 cycle/second (Hz) cycle/meter
무엇이 반복되나 한 점에서 전자기파의 진동 평면 위에서 밝기·색의 변화
사람이 느끼는 것 색깔 무늬의 촘촘함 (이미지)
예 500 nm 빛: \(6.0 \times 10^{14}\) Hz 밝고 어두운 줄 한 쌍이 2 mm: 500 cycle/m

정의

정의

1초에 \(f\)번 오르내리는 물결 모양 신호를 식으로 쓴다. 물결의 높이가 진폭 \(A\), 출발점이 얼마나 밀려 있는지가 위상 \(\phi\)(파이)다.

단일 주파수의 파동은

\[s(t) = A \sin(2\pi f t + \phi)\]

로 쓴다. \(A \ge 0\)은 진폭, \(f > 0\)은 주파수(Hz), \(\phi\)는 위상(rad)이다2. 한 주기는 \(T = 1/f\)다. 파장 \(\lambda\)와 주파수는 파동의 속도 \(c\)로 이어진다.

\[c = f\lambda, \qquad \lambda = \frac{c}{f}\]

말로 읽으면 “속도 = 1초에 오르내리는 횟수 × 물결 하나의 길이”다. 빛은 진공에서 \(c \approx 3.00 \times 10^8\) m/s다. 예를 들어 2.4 GHz 와이파이 전파의 파장은 \(3 \times 10^8 / (2.4 \times 10^9) = 0.125\) m, 즉 12.5 cm다3.

색깔은 파장의 함수 \(i(\lambda)\), 곧 파장마다 빛이 얼마나 센지의 분포로 표현한다. 한 파장만 있는 빛(단색광)은 드물고, 햇빛·전등 빛은 여러 파장이 섞인 분포다.

위상 \(\phi\)는 파동이 언제 시작하는지를 정한다. \(\phi = \pi/2\)만큼 밀린 사인은 코사인이다. 파동 하나만 볼 때는 눈에 띄지 않지만, 여러 파동을 더할 때 서로 보강하는지 상쇄하는지를 정한다.

그림

회색 선이 기준 파동 \(\sin(2\pi t)\)다. 진폭을 바꾸면 높이만, 주파수를 바꾸면 촘촘함만, 위상을 바꾸면 옆으로 놓인 자리만 바뀐다. \(\phi = \pi/2\)인 초록 선은 코사인과 같다4.

진폭과 세기(에너지)는 비례하지 않는다. 한 주기 동안 \(s(t)^2\)의 평균은 \(A^2/2\)이므로, 진폭이 2배면 세기는 4배다5.

검증: 400/500/700 nm의 주파수, 소리 20 Hz·20 kHz의 파장, 평균 제곱 \(A^2/2\)(수치 적분), 위상 \(\pi/2\) → 코사인, 2 mm 주기 → 500 cycle/m (실험으로 확인됨) — 11_wave-and-light_verify.py

활용

  • 이 개념은 빛과 신호의 표현, 이미지 표현과 공간 주파수, 소리와 오디오 신호, 푸리에 급수·변환·이산 푸리에 변환·이산 코사인 변환으로 이어진다.
  • \(A\), \(f\), \(\phi\) 세 값이 중요한 이유는 푸리에 분해에 있다. 복잡한 소리나 이미지도 여러 사인파의 합으로 쓸 수 있고, 각 사인파는 이 세 값으로 정해진다.

연결

자주 하는 오해

“빛의 색은 주파수(파장) 하나로 정해진다”

틀렸다. 위 표처럼 “주파수: 색깔”로 짝지어 외우면 그렇게 읽기 쉽다. 단색광에는 맞는 말이지만, 실제 빛은 대부분 여러 파장이 섞인 분포 \(i(\lambda)\)다. 색은 그 분포가 세 종류의 추상체에 만드는 반응으로 정해진다. 확인 방법: 자홍색(마젠타)에 해당하는 단일 파장은 스펙트럼 어디에도 없다. 빨강과 파랑 빛을 섞어야만 보이는 색이다6.

“진폭이 2배면 밝기도 2배다”

틀렸다. “진폭: 밝기”로 짝지어 외우면 비례로 오해하기 쉽다. 빛의 세기(에너지)는 진폭의 제곱에 비례해 4배가 되고, 사람이 느끼는 밝기는 세기에도 비례하지 않고 훨씬 천천히 는다. 확인 방법: 평균 제곱 \(A^2/2\) 계산.

확인 문제

C1 파동을 나타내는 세 파라미터를 쓰고, 청각과 시각에서 각각 무엇에 쓰이는지와 정보 표현의 차원을 쓰라.

답: 진폭 \(A\), 주파수 \(f\), 위상 \(\phi\). 청각: 진폭은 소리 크기, 주파수는 음높이, 시간에 따른 1차원 변화. 시각: 진폭은 밝기, 주파수는 색깔, 평면 위 2차원 변화.

C2 파장 500 nm인 빛의 주파수를 구하라(\(c = 3 \times 10^8\) m/s). 파장이 700 nm로 길어지면 주파수는 커지는가, 작아지는가?

답: \(f = c/\lambda = 3 \times 10^8 / (500 \times 10^{-9}) = 6.0 \times 10^{14}\) Hz. 파장이 길어지면 주파수는 작아진다(700 nm는 약 \(4.3 \times 10^{14}\) Hz).
흔한 오답: nm를 \(10^{-9}\) m로 바꾸지 않아 자릿수가 틀린다.

C3 다음은 빛 자체의 주파수(cycle/s)와 공간 주파수(cycle/m) 중 어느 쪽 이야기인가? (a) 빨간빛이 파란빛보다 낮다 (b) 체크무늬 셔츠의 칸이 촘촘할수록 높다 (c) 사진을 흐리게 하면 줄어든다

답: (a) 빛 자체의 주파수. 색을 정한다. (b) 공간 주파수. 평면 위 밝기 변화의 촘촘함이다. (c) 공간 주파수. 흐리게 하면 촘촘한 변화(높은 공간 주파수)가 사라진다.

  1. 소리의 속도(20 °C 공기에서 약 343 m/s)와 가청 범위 20 Hz~20 kHz는 표준 물리 값이다. ↩

  2. 사인파 식은 표준 표기다. ↩

  3. 컴퓨터 통신의 신호와 변조 표와 같은 계산이다. ↩

  4. 11_wave-and-light_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(위상 \(\pi/2\)인 사인 = 코사인, 진폭 2인 파동의 평균 제곱 2)을 같은 코드로 확인했다. ↩

  5. 세기가 진폭의 제곱에 비례한다는 것은 파동 에너지의 표준 결과다. 느끼는 밝기가 세기보다 천천히 는다는 것은 정신물리학의 표준 결과(예: Stevens의 거듭제곱 법칙)다. ↩

  6. 자홍색이 스펙트럼에 없는 색(비스펙트럼색)이라는 것은 색채학의 표준 사실이다. ↩