사용 개념: 1차원은 컨벌루션 적분 \((f * g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau\)와 컨벌루션 합, 2차원은 2차원 합성곱.

1차원과 2차원 합성곱의 예제와 문제를 모았다. 풀이 전략은 늘 같다. 한 함수를 뒤집어 \(t\)만큼 옮긴 뒤, \(t\)를 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 움직이며 겹치는 구간의 끝점이 바뀌는 순간마다 경우를 나눈다. 겹치는 구간을 찾으면 그 구간에서 두 함수의 곱을 적분(또는 합)한다. 임펄스가 끼면 이 과정 대신 “그 자리로 옮기기”를 쓴다.

문제 1 · 단위 사각형끼리 (p1)

\(f(x) = h(x) = 1\) (\(0 \le x < 1\)), 그 밖은 0이다. \(f * h\)를 구하라.

답
  1. 뒤집고 옮기기: \(h(x - \alpha)\)는 \(\alpha \in (x - 1, x]\)에서 1이다.
  2. 경우 나누기: 겹치는 구간은 \([0, 1)\)과 \((x - 1, x]\)의 공통 부분이다. \(x < 0\)이면 겹침 없음. \(0 \le x < 1\)이면 \([0, x]\), 길이 \(x\). \(1 \le x < 2\)이면 \([x - 1, 1)\), 길이 \(2 - x\). \(x \ge 2\)면 없음.
  3. 결과: \((f * h)(x) = x\) (\(0 \le x < 1\)), \(2 - x\) (\(1 \le x < 2\)), 그 밖은 0. 꼭대기 \((1, 1)\)의 삼각형이다.

문제 2 · 높이가 다른 사각형 (p2)

\(x(\tau) = 2\) (\(0 \le \tau < 2\)), \(h(\tau) = 1\) (\(0 \le \tau < 1\))일 때 \(y(t) = \int x(\tau)h(t - \tau)\,d\tau\)를 구하라.

답
  1. 뒤집고 옮기기: \(h(t - \tau)\)는 \(\tau \in (t - 1, t]\)에서 1인 폭 1의 사각형이다.
  2. 경우 나누기: \(t < 0\), \(0 < t < 1\), \(1 < t < 2\), \(2 < t < 3\), \(t > 3\)의 다섯 경우로 나눈다.
  3. 겹친 넓이 × 높이 2: \(t < 0\)이면 0. \(0 < t < 1\)이면 겹친 길이 \(t\)라 \(2t\). \(1 < t < 2\)이면 \(h\)가 통째로 \(x\) 안이라 \(2 \times 1 = 2\). \(2 < t < 3\)이면 겹친 길이 \(3 - t\)라 \(2(3 - t)\). \(t > 3\)이면 0.
  4. 결과: 0에서 2까지 오르고, 1~2에서 2로 평평하고, 3에서 0으로 내려오는 사다리꼴이다.
검증: 리만 합으로 계산한 \(f * h\)와 \(y(t)\)가 일곱 지점에서 식과 맞음 — 31_convolution-practice_p2.py

문제 3 · 델타 함수와의 합성곱 (p3)

사각 함수 \(\mathrm{rect}(x)\)와 델타 함수 \(\delta(x)\)의 합성곱은? \(\delta(x - a)\)와의 합성곱은?

답
  1. 정의에 넣기: \((\mathrm{rect} * \delta)(x) = \int \mathrm{rect}(\tau)\delta(x - \tau)\,d\tau\). 델타는 \(\tau = x\)에서만 넓이 1을 가지므로 적분값은 \(\mathrm{rect}(x)\)다.
  2. 옮긴 델타: \(\delta(x - a)\)면 \(\tau = x - a\)에서만 남아 \(\mathrm{rect}(x - a)\)다.
  3. 결론: 델타와의 합성곱은 함수를 그대로 두고, 옮긴 델타와의 합성곱은 함수를 그만큼 옮긴다.

문제 4 · 네 줄 (p4)

다음 네 줄에서 \((x * h)(t)\)를 그려라. 모든 줄에서 \(x\)는 \(0 \le t < 0.5\)에서 1인 펄스이고, 둘째 줄의 \(x\)에는 \(1 \le t < 1.5\)의 펄스가 하나 더 있다.

줄 \(h(t)\)
1 \(x\)와 같은 펄스
2 \(x\)와 같은 펄스
3 \(\delta(t - 1)\)
4 \(\delta(t - 0.5)\)와, 높이가 약 1/2로 더 낮은 둘째 임펄스 \(\tfrac{1}{2}\delta(t - 1.5)\) [판독불확실: 높이 약 1/2]
답
  1. 줄 1: 폭 0.5인 펄스끼리라 문제 1과 같은 모양을 반으로 줄인 삼각형이다. 0에서 시작해 \((0.5, 0.5)\)에서 꼭대기, 1에서 0.
  2. 줄 2: 합성곱은 더하기를 나눠 계산할 수 있다(선형). 펄스마다 줄 1의 삼각형이 하나씩 생겨 0~1과 1~2에 같은 삼각형 둘이다.
  3. 줄 3: \(\delta(t - 1)\)과의 합성곱은 1만큼 옮기기라 \(1 \le t < 1.5\)의 펄스다.
  4. 줄 4: 두 임펄스가 각각 복사본을 만든다. \(0.5 \le t < 1\)에 높이 1의 펄스, \(1.5 \le t < 2\)에 둘째 임펄스의 높이(약 1/2)만큼의 펄스다.
검증: 줄 1·2는 리만 합과 삼각형 식 비교, 줄 3·4는 옮긴 펄스 값 확인(둘째 높이 1/2로 가정) — 31_convolution-practice_p4.py

문제 5 · 불연속 합성곱의 길이 (p5)

\(f[n]\)은 \(n = 0, \dots, 3\)에서만, \(h[n]\)은 \(n = 0, \dots, 5\)에서만 0이 아니다. \((f * h)[n] = \sum_m f[m]h[n - m]\)이 0이 아닐 수 있는 \(n\)의 범위는?

답
  1. 뒤집고 옮기기: \(h[n - m]\)은 \(m = n - 5, \dots, n\)에서만 0이 아니다.
  2. 겹침 조건: \(f\)의 칸 \(0 \sim 3\)과 \(n - 5 \sim n\)이 겹치려면 \(n \ge 0\)이고 \(n - 5 \le 3\), 곧 \(0 \le n \le 8\)이다.
  3. 결론: \(n < 0\)이나 \(n > 8\)이면 0이다. 길이 4와 6의 합성곱은 길이 \(4 + 6 - 1 = 9\)다. 예: \(f = [1, 1, 1, 1]\), \(h = [6, 5, 4, 3, 2, 1]\)이면 \([6, 11, 15, 18, 14, 10, 6, 3, 1]\)1.
검증: 예의 결과 9개와 모두 양수 — 31_convolution-practice_p5.py

문제 6 · 2차원 단위 정사각형 (p6)

\(f\)와 \(h\)가 모두 \(0 \sim 1 \times 0 \sim 1\)에서 1이다. \(g(x, y) = \iint f(\alpha, \beta)h(x - \alpha, y - \beta)\,d\alpha\,d\beta\)를 구역별로 구하라.

답
  1. 뒤집고 옮기기: \(h(x - \alpha, y - \beta)\)는 \(\alpha \in (x - 1, x]\), \(\beta \in (y - 1, y]\)의 정사각형이다.
  2. 겹친 넓이: 가로 겹침은 문제 1의 \(\mathrm{tri}(x)\), 세로 겹침은 \(\mathrm{tri}(y)\)다. 겹친 사각형의 넓이는 둘의 곱이다.
  3. 구역별: (1) \(0 < x \le 1, 0 < y \le 1\): \(xy\). (2) \(0 < x \le 1, 1 < y \le 2\): \(x(2 - y)\). (3) \(1 < x \le 2, 0 < y \le 1\): \((2 - x)y\). (4) \(1 < x \le 2, 1 < y \le 2\): \((2 - x)(2 - y)\).
  4. 결과: \(g(x, y) = \mathrm{tri}(x)\,\mathrm{tri}(y)\), \((1, 1)\)에서 꼭대기 1인 피라미드 모양이다.

문제 7 · 2차원 불연속 (p7)

\(f(m, n)\)은 \(m, n \in \{-1, 0, 1\}\)에서 1, \(h(m, n)\)은 \((1, 0), (0, -1), (0, 0)\)에서 1이다. \(g(m, n) = \sum_k\sum_l f(k, l)h(m - k, n - l)\)의 표를 만들라.

답
  1. 임펄스로 나누기: \(h\)의 세 점이 \(f\)를 \((0, 0)\), \((1, 0)\), \((0, -1)\)만큼 옮긴 복사본 세 장을 만든다.
  2. 겹침 세기: 칸마다 복사본이 몇 장 겹치는지 센다.
  3. 결과: 위에서부터 \(m = 2, 1, 0, -1\), 왼쪽부터 \(n = -2, -1, 0, 1\):
```
0 1 1 1
1 3 3 2
1 3 3 2
1 2 2 1
```
모서리 $$g(-1, -2) = 1$$, $$g(2, 1) = 1$$은 복사본 한 장만 겹친 칸이다.
검증: 문제 6의 다섯 지점(수치 적분), 문제 7의 표 — 31_convolution-practice_p7.py

변형 문제

  1. 문제 2에서 \(h\)의 폭을 2로 늘리면(\(0 \le \tau < 2\)) \(y(t)\)는 어떤 모양인가?

    답
    1. 경우: \(x\)와 \(h\)의 폭이 같아 평평한 구간이 사라진다.
    2. 결과: 0~2에서 \(2t\)로 오르고 2~4에서 \(2(4 - t)\)로 내려오는 삼각형, 꼭대기 \((2, 4)\)1.

  1. 문제 7에서 \(h\)에 \((0, 1)\)을 하나 더하면 값 4인 칸이 생기는가?

    답
    1. 복사본: 네 번째 복사본은 \(m \in [-1, 1]\), \(n \in [0, 2]\)를 차지한다.
    2. 겹침: \((0, 0)\), \((1, 0)\) 같은 칸은 네 장이 모두 겹친다. 예를 들어 \((1, 0)\)은 ①, ②, ③, ④ 모두에 들어가 4다1.

  1. 모든 결과는 문제 코드로 확인했다. ↩ ↩2 ↩3