사용 개념: 삼각함수 항등식의 배각 공식과 피타고라스 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).

이 방법을 떠올리는 신호는 “다음 식이 항등식임을 보여라” 또는 “한 가지 함수로 나타내라”는 문제다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.

  1. 복잡한 쪽 고르기: 항이 많거나 각이 여러 개인 쪽에서 출발한다. 양쪽을 동시에 바꾸지 않는다.
  2. 재료 통일하기: 배각·덧셈정리로 각을 하나로, \(\tan\) 등을 \(\sin\)과 \(\cos\)으로 바꾼다.
  3. 대수로 정리하기: 전개, 인수분해, 통분, 그리고 \(\sin^2 + \cos^2 = 1\)을 쓴다.
  4. 확인하기: 다른 쪽과 같아졌는지 보고, 한 각을 넣어 수치로 확인한다. 식이 정의되지 않는 각도 적는다.

문제 1 · 완전한 풀이

\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + \sin 2\theta\)임을 보여라.

  1. 복잡한 쪽 고르기: 왼쪽이 제곱이라 풀 것이 많다.
  2. 재료 통일하기: 모두 각 \(\theta\)의 \(\sin\), \(\cos\)이라 그대로 둔다.
  3. 대수로 정리하기: 전개하면 \(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\). 배각 공식으로 \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\).
  4. 확인하기: 오른쪽과 같다. \(\theta = \pi/4\)를 넣으면 \((\sqrt2)^2 = 2 = 1 + \sin\frac{\pi}{2}\)다.

문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸

\(\cos^4\theta - \sin^4\theta = \cos 2\theta\)임을 보여라.

  1. 복잡한 쪽 고르기: 네제곱이 있는 왼쪽.
  2. 재료 통일하기: 모두 각 \(\theta\)라 그대로 둔다.
  3. 대수로 정리하기: 제곱의 차로 인수분해하면 \((\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta\).
  4. 확인하기: __
답

배각 공식 \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)이므로 오른쪽과 같다. \(\theta = 0\)을 넣으면 \(1 - 0 = 1 = \cos 0\)이다.

문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸

\(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{2}{\sin 2\theta}\)임을 보여라.

  1. 복잡한 쪽 고르기: 두 항의 합인 왼쪽.
  2. 재료 통일하기: __
  3. 대수로 정리하기: __
  4. 확인하기: \(\theta = \pi/4\)이면 왼쪽 \(1 + 1 = 2\), 오른쪽 \(2/\sin\frac{\pi}{2} = 2\). \(\theta\)가 \(\pi/2\)의 정수배이면 양쪽 모두 정의되지 않는다.
답
  1. \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)로 바꾸면 \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\).
  2. 통분하면 \(\dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\). 분모와 분자에 2를 곱하고 \(2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta\)를 쓰면 \(\dfrac{2}{\sin 2\theta}\).

문제 4 · 독립 문제

\(\sin 3\theta\)를 \(\sin\theta\)만으로 나타내라.

답

\(\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta) = \sin 2\theta\cos\theta + \cos 2\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos^2\theta + (1 - 2\sin^2\theta)\sin\theta\). \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)를 넣으면 \(2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta\).

확인: \(\theta = \pi/6\)이면 \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\)이고 \(3 \cdot \frac12 - 4 \cdot \frac18 = 1\)이다.

변형 문제

\(\cos 3\theta\)를 \(\cos\theta\)만으로 나타내라.

답

같은 방법으로 \(\cos 3\theta = \cos 2\theta\cos\theta - \sin 2\theta\sin\theta = (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\). 드무아브르 공식으로도 한 줄에 나온다.

검증: 다섯 항등식 모두 무작위 각 2만 개에서 양변 일치(실험으로 확인됨), 확인용 값 — 14_trig-identities_verify.py

  1. OpenStax, Precalculus 2e, 7.1절 “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”(한쪽에서 출발해 다른 쪽으로 가는 전략) ↩