기법

진법과 자릿수 (Positional Notation)

Positional Notation · 진법 · radix · 기수법 …

갱신

2026-10-15

요약

우리가 쓰는 수는 자리마다 10의 거듭제곱을 곱해 더한 것이고, 10 대신 2를 쓰면 컴퓨터의 2진법이 된다. 자리 하나를 늘릴 때마다 적을 수 있는 수가 밑의 배수로 늘어나므로, 어떤 수를 적는 데 드는 자릿수는 로그로 정해진다. 16진법은 2진수 네 자리를 한 글자로 줄여 쓴 것이다. 다만 자릿수를 부동소수점 로그로 계산하면 경계에서 틀릴 수 있다.

예시로 보기

\(2025 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0\)이다. 같은 방식으로 밑을 2로 두면 \(13 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 1101_2\)다.

10진수를 2진수로 바꿀 때는 2로 계속 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽는다.

13 ÷ 2 = 6 … 1   ← 1의 자리
 6 ÷ 2 = 3 … 0
 3 ÷ 2 = 1 … 1
 1 ÷ 2 = 0 … 1   ← 8의 자리
            읽는 방향 ↑ : 1101₂

flowchart TD
  S["n과 밑 b를 받는다"] --> Q{"n이 0보다 큰가?"}
  Q -->|"예"| D["n을 b로 나눠 몫 q와 나머지 r을 얻는다"]
  D --> W["r을 지금까지 적은 숫자의 왼쪽에 붙인다"]
  W --> N["n을 q로 바꾼다"]
  N --> Q
  Q -->|"아니오"| E["적은 숫자열이 b진 표현이다"]

나머지는 1의 자리부터 나오므로, 새 나머지를 늘 왼쪽에 붙인다. 위 표에서 “아래에서 위로 읽는” 것과 같은 일이다. 몫이 매번 줄어들어 언젠가 0이 되므로 반복은 반드시 끝난다¹.

16은 \(2^4\)이므로 2진수를 오른쪽부터 네 자리씩 끊으면 16진수 한 자리가 된다. \(255 = 1111\,1111_2 = \text{FF}_{16}\)이다. 16진수의 A~F는 10~15를 뜻한다.

flowchart LR
  T["10진수"] -->|"2로 반복 나눗셈"| B2["2진수"]
  B2 -->|"자리마다 2의 거듭제곱을 곱해 더하기"| T
  B2 -->|"오른쪽부터 네 자리씩 끊기"| H["16진수"]
  H -->|"한 글자를 네 자리로 펴기"| B2
  B2 -->|"오른쪽부터 세 자리씩 끊기"| O["8진수"]
  O -->|"한 글자를 세 자리로 펴기"| B2

10진수와 2진수 사이는 나눗셈과 곱셈으로 계산해야 한다. 16진수와 8진수는 밑이 \(2^4\), \(2^3\)이라서 2진수를 끊거나 펴기만 하면 된다¹.

자릿수는 로그와 맞물린다. 네 자리 10진수는 \(1000\)부터 \(9999\)까지다. 즉 \(10^3 \le n < 10^4\)이다. 양변에 \(\log_{10}\)을 취하면 \(3 \le \log_{10} n < 4\)이니, 자릿수는 \(\log_{10} n\)의 정수 부분에 1을 더한 값이다.

정의

\(\lfloor t \rfloor\)(바닥)는 \(t\) 이하의 가장 큰 정수, \(\lceil t \rceil\)(천장)는 \(t\) 이상의 가장 작은 정수다.

정의

정수 \(b \ge 2\)를 밑으로 할 때, 모든 양의 정수 \(n\)은

\[n = \sum_{i=0}^{m-1} d_i\, b^i = d_{m-1} b^{m-1} + \dots + d_1 b + d_0, \qquad d_i \in \{0, 1, \dots, b - 1\},\ d_{m-1} \ne 0\]

으로 한 가지 방법으로만 쓸 수 있다². \(d_{m-1} \dots d_1 d_0\)을 \(n\)의 \(b\)진 표현, \(m\)을 \(b\)진 자릿수라 한다.

정리

1. 양의 정수 \(n\)의 \(b\)진 자릿수는 \(m = \lfloor \log_b n \rfloor + 1\)이다.
2. 서로 다른 값 \(N\)개(\(N \ge 1\))를 \(b\)진 \(m\)자리로 모두 구별하려면 \(b^m \ge N\), 즉 \(m \ge \lceil \log_b N \rceil\)이어야 한다.

증명

1. \(m\)자리 수 중 가장 작은 것은 \(1\underbrace{0\cdots0}_{m-1} = b^{m-1}\), 가장 큰 것은 모든 자리가 \(b - 1\)인 \(b^m - 1\)이다. 따라서 \(n\)이 \(m\)자리이면 \(b^{m-1} \le n < b^m\)이다. \(\log_b\)는 순증가이므로 \(m - 1 \le \log_b n < m\)이고, \(m - 1\)은 \(\log_b n\) 이하의 가장 큰 정수 \(\lfloor \log_b n \rfloor\)다.
2. \(m\)자리로 만들 수 있는 서로 다른 표현은 자리마다 \(b\)가지씩 \(b^m\)개다. 이것이 \(N\) 이상이어야 하고, \(b^m \ge N \iff m \ge \log_b N\)이다. \(m\)은 정수이므로 \(m \ge \lceil \log_b N \rceil\). ∎

표현이 있고 하나뿐이라는 사실은 위의 반복 나눗셈이 늘 끝나고 나머지가 하나로 정해진다는 데서 나온다. [증명 스케치] 엄밀한 증명은 이산수학의 나눗셈 정리를 쓴다.

계단(2진 자릿수)은 \(n\)이 2의 거듭제곱 1, 2, 4, 8, …에 닿을 때마다 한 칸 오른다. 곡선 \(\lg n\)은 늘 계단보다 아래에 있고, 2의 거듭제곱에서는 정확히 1 모자란다³.

예제

값의 개수와 수의 크기 구별하기. 0부터 999까지 서로 다른 값 1,000개를 저장하려면 몇 비트가 필요한가?

1. 필요한 표현 수: \(N = 1000\).
2. 정리 2 적용: \(\lceil \lg 1000 \rceil = \lceil 9.97 \rceil = 10\)비트. 실제로 \(2^{10} = 1024 \ge 1000\)이다.
3. 가장 큰 값으로 확인: \(999\)의 비트 수는 정리 1로 \(\lfloor \lg 999 \rfloor + 1 = 9 + 1 = 10\). 두 방법이 같다.

값이 1,024개(0~1023)이면 필요한 비트는 여전히 10이다. 그런데 수 \(1024\) 자체는 \(10000000000_2\)로 11비트다. “값 \(N\)개”와 “수 \(N\)“은 다르다.

검증: 반복 나눗셈 변환과 왕복 20,000건, 자릿수 공식을 정수 연산으로 전수 확인(\(b = 2, 3\)은 \(n < 100{,}000\), \(b = 4\)~\(16\)은 \(n < 20{,}000\)), 파이썬 int.bit_length()와의 일치, 예제와 카드 C1·C2, 부동소수점 반례 — 10_positional-notation_verify.py

활용

• 주소와 색. IPv4 주소는 32비트라 \(2^{32} \approx 4.3 \times 10^9\)개다. 웹 색상 #1E5FD0은 빨강·초록·파랑 각 8비트를 16진수 두 자리씩 쓴 것이고, 모두 \(2^{24} = 16{,}777{,}216\)가지다.
• 권한. 유닉스 파일 권한 755는 8진수다. 8진수 한 자리가 2진수 세 자리이므로 \(7 = 111_2\)(rwx), \(5 = 101_2\)(r-x)가 되어 rwxr-xr-x다.
• 자릿수는 정수로 센다. math.floor(math.log10(n)) + 1은 \(n = 10^{15} - 1\)에서 16을 낸다. 실제로는 15자리다. \(\log_{10} n\)이 부동소수점에서 15.0으로 반올림되기 때문이다. 정수의 2진 자릿수는 n.bit_length(), 10진 자릿수는 len(str(n))으로 정확히 센다.
• \(d_{m-1}b^{m-1} + \dots + d_0\)은 \(x = b\)를 넣은 다항식이다. 그래서 숫자 문자열 “2025”를 수로 바꾸는 가장 간단한 방법이 다항식의 호너 방법 \(((2 \cdot 10 + 0) \cdot 10 + 2) \cdot 10 + 5\)다. 왼쪽 자리부터 읽으며 “지금까지 값 × 10 + 새 숫자”를 되풀이한다.
• 알고리즘에서: 원소 \(k\)개의 부분집합 \(2^k\)개를 0부터 \(2^k - 1\)까지의 \(k\)자리 2진수로 나타내는 것이 비트마스크다. 정렬된 \(n\)칸에서 값이 들어갈 자리 \(n + 1\)가지를 예·아니오 비교로 가르려면 정리 2에 따라 가장 나쁜 경우 \(\lceil \lg(n + 1) \rceil\)번은 물어야 하고, 이분 탐색이 딱 그만큼 묻는다. 수를 \(b\)진수로 바꾸는 위의 반복 나눗셈은 k진수에서 소수 개수 구하기와 n진수 게임에서 쓰고, 시·분을 60진법 두 자리로 보는 시간·날짜 계산의 divmod(x, 60)도 같은 계산이다. 그 밖에 힙과 우선순위 큐, 세그먼트 트리와 스위핑, 문자열 파싱과 정규 표현식, 동영상 재생기, 파일명 정렬, 문자열 압축, 가사 검색에서도 쓴다.
• 브리지: 트리 칸 번호 ↔ 2진법 자릿수

연결

• 선수: 로그, 거듭제곱과 지수법칙
• 나중에 쓰이는 곳: 이산수학의 나눗셈 정리와 합동(표현의 유일성), 확률과 통계의 엔트로피(평균적으로 필요한 비트 수).

자주 하는 오해

“n을 2진수로 쓰려면 lg n비트가 필요하다”

틀렸다. “2를 몇 번 곱하면 \(n\)인가”가 자릿수처럼 느껴지지만 하나가 모자란다. \(8 = 1000_2\)은 4비트인데 \(\lg 8 = 3\)이다. \(2^k\)은 1 뒤에 0이 \(k\)개 붙은 수라서 \(k + 1\)자리다. 정확한 비트 수는 \(\lfloor \lg n \rfloor + 1\)이다. 거꾸로, 값 \(N\)개를 구별하는 데는 \(\lceil \lg N \rceil\)비트면 된다. 둘을 섞으면 1비트씩 틀린다.

과목별 관점

자료와 정보 (2-1학기). 수를 “컴퓨터에 담는 데이터”로 본다. 수 자체(자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수)와 그것을 적는 표기법(2진수·10진수·16진수, 고정소수점·부동소수점)을 따로 본다. 같은 수 13을 1101로 적든 D로 적든 수는 하나이고, 적는 방법만 다르다.

이 과목이 힘주어 말하는 것은 비트 수가 유한하다는 점이다. \(N\)비트로 만들 수 있는 줄은 \(2^N\)가지(정리 2)뿐이라, 적을 수 있는 수는 범위도 촘촘함도 끝이 있다. 8비트의 256가지 줄에 어떤 수를 짝지을지는 “정하기 나름”이고 “필요에 따라” 정한다. 0부터 255까지로 쓰면 부호 없는 정수이고, 절반을 음수에 주면 2의 보수다. 소수점 아래로도 자리를 이어 가면 자리 무게가 \(2^{-1}, 2^{-2}, \dots\)이 되어 \(0.1011_2 = \frac12 + \frac18 + \frac1{16} = 0.6875\)처럼 소수를 적는다. 소수점 자리를 띄워 범위를 넓힌 것이 부동소수점이다. 어느 약속으로 읽을지는 비트 줄 밖에 따로 적어 둔다: 데이터와 메타데이터.

어셈블리어 (2-1학기). 2진수와 16진수를 “메모리와 레지스터에 실제로 들어 있는 값을 읽고 쓰는 표기”로 쓴다. 이 과목은 여기에 세 가지를 더한다. 비트에 번호를 붙이는 법, 정해진 칸의 크기, 16진수끼리의 덧셈과 뺄셈이다.

• 비트의 번호. 맨 오른쪽 비트가 0번이고 왼쪽으로 갈수록 번호가 커진다. 16비트면 맨 왼쪽이 15번이다. 맨 왼쪽 비트를 MSB(most significant bit), 맨 오른쪽 비트를 LSB(least significant bit)라 부른다. 번호 \(i\)인 비트의 무게가 \(2^i\)이므로 MSB는 값에 가장 크게, LSB는 가장 작게 들어간다⁴.
• 칸의 크기. 정수를 담는 칸은 네 가지 크기로 정해져 있다. 부호 없이 담을 때의 범위는 다음과 같다.

이름	비트 수	범위	2의 거듭제곱으로
바이트 (byte)	8	0 ~ 255	\(0 \sim 2^8 - 1\)
워드 (word)	16	0 ~ 65,535	\(0 \sim 2^{16} - 1\)
더블워드 (doubleword)	32	0 ~ 4,294,967,295	\(0 \sim 2^{32} - 1\)
쿼드워드 (quadword)	64	0 ~ 18,446,744,073,709,551,615	\(0 \sim 2^{64} - 1\)

• 16진 덧셈. 한 자리의 합을 16으로 나눠 몫은 왼쪽으로 올리고 나머지를 그 자리에 쓴다. 6A + 4B에서 A + B = 21이고 21 ÷ 16 = 1, 나머지 5다. 5를 쓰고 1을 올리면 6 + 4 + 1 = B라서 답은 B5다.
• 16진 뺄셈. 한 자리에서 모자라면 왼쪽에서 1을 빌려 오고, 빌려 온 1은 16으로 친다. 75 − 47에서 5 − 7은 모자라므로 16 + 5 = 21, 21 − 7 = 14 = E다. 윗자리는 7 − 1 − 4 = 2라서 답은 2E다.
• 왜 16진수로 계산하나. 프로그래머는 변수와 명령어의 주소를 자주 더하고 뺀다. 주소는 16진수 여덟 글자로 적으므로 10진수로 바꿨다가 되돌리는 것보다 그대로 계산하는 편이 빠르다. 어떤 변수의 주소가 00400020이고 바로 다음 변수의 주소가 0040006A이면 그 변수는 6A − 20 = 4Ah, 곧 74바이트를 차지한다.

어셈블리어에서는 수 뒤에 진법을 알리는 글자를 붙여 6Ah, 1101b처럼 쓴다: 어셈블리 문장의 구성. 연습 문제는 16진 계산과 2의 보수 연습에 있다.

확인 문제

C1 45를 2진수와 16진수로 바꾸라.

답: \(45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 101101_2\). 네 자리씩 끊으면 \(0010\ 1101_2\)이고 \(2\)와 \(13\)이므로 \(\text{2D}_{16}\)이다.

흔한 오답: 반복 나눗셈의 나머지를 위에서부터 읽어 \(101101\)을 거꾸로 적는 것. 이 수는 좌우가 같아 티가 안 나지만, \(13\)이면 \(1011\)로 틀린다.

C2 (a) 서로 다른 값 1,000개를 구별하는 데 필요한 비트 수와 수 1000의 2진 자릿수 (b) 값 1,024개를 구별하는 비트 수와 수 1024의 2진 자릿수를 각각 구하라.

답: (a) \(\lceil \lg 1000 \rceil = 10\), \(\lfloor \lg 1000 \rfloor + 1 = 10\). (b) \(\lceil \lg 1024 \rceil = 10\), \(\lfloor \lg 1024 \rfloor + 1 = 11\). 값이 \(N\)개면 가장 큰 값은 \(N - 1\)이라서, \(N\)이 2의 거듭제곱일 때 둘이 갈린다.

C3 자릿수 공식 m = ⌊log_b n⌋ + 1의 증명에서 핵심이 되는 부등식은 무엇이고, 그것은 어디서 나오는가?

답: \(b^{m-1} \le n < b^m\)이다. \(m\)자리 수 중 가장 작은 수가 \(b^{m-1}\)(1 뒤에 0이 \(m - 1\)개), 가장 큰 수가 \(b^m - 1\)이기 때문이다. 여기에 순증가인 \(\log_b\)를 취하면 \(m - 1 = \lfloor \log_b n \rfloor\)이 된다.

C4 같은 8비트 1000 0001을 (가) 부호 없는 정수 (나) 2의 보수 (다) 소수점이 맨 앞에 있는 2진 소수 \(0.10000001_2\)로 각각 읽어라. 세 값이 다른 까닭은?

답: (가) \(128 + 1 = 129\). (나) \(-128 + 1 = -127\). (다) \(\frac12 + \frac1{256} = 0.50390625\).
이유: 8비트로 만들 수 있는 줄은 256가지뿐이고, 그 줄에 어떤 수를 짝지을지는 약속이다. 자리 무게를 \(2^7, \dots, 2^0\)으로 두느냐, 맨 앞만 \(-2^7\)로 두느냐, \(2^{-1}, \dots, 2^{-8}\)로 두느냐에 따라 같은 줄이 다른 수가 된다⁵.

C5 6A + 4B와 75 − 47을 16진수인 채로 계산하라. 어떤 변수의 주소가 00400020이고 바로 다음 변수의 주소가 0040006A이면 그 변수는 몇 바이트인가?

답: B5, 2E, 74바이트(4Ah).
이유: 덧셈은 A + B = 21 = 16 + 5라 5를 쓰고 1을 올린다. 뺄셈은 16을 빌려 21 − 7 = E, 윗자리는 7 − 1 − 4 = 2다. 변수의 크기는 다음 주소에서 자기 주소를 뺀 값이다.
흔한 오답: A + B = 21을 그대로 써서 A21처럼 적는 것. 한 자리에는 0~F 하나만 들어간다⁴.

1. 예시로 보기의 반복 나눗셈과 16진수 묶기, 활용의 8진수 한 자리 = 2진수 세 자리, 정의의 자릿값 합 \(\sum d_i b^i\)를 근거로 그렸다. 진법 표현의 출처는 Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, 4.1절이다. ↩ ↩²

2. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2 Seminumerical Algorithms, 4.1절 “Positional Number Systems” ↩

3. 10_positional-notation_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(\(n < 5{,}000\)에서 \(2^{m-1} \le n < 2^m\)(\(m\)은 2진 자릿수), \(8\)은 4비트이고 \(\lg 8 = 3\))을 같은 코드로 확인했다. ↩

4. 74바이트와 카드 C5의 값은 01_asm-hex-practice_p1.py로 확인했다. ↩ ↩²

5. 카드 C4의 값은 02_twos-complement_verify.py(129, −127)와 03_floating-point_verify.py(0.50390625)로 확인했다. ↩