역삼각함수

요약

역삼각함수는 삼각함수의 값을 보고 각을 되찾는 함수다. 사인은 한 바퀴 안에서도 같은 값을 두 번 내므로 그대로는 되돌릴 수 없고, 입력 범위를 반 바퀴로 잘라야 되돌릴 수 있다. 그래서 역삼각함수가 돌려주는 각은 가능한 답 가운데 하나뿐이다. 방향각을 구할 때는 어느 사분면인지 잃어버리는 아크탄젠트 대신 두 좌표를 따로 받는 atan2를 쓴다.

예시로 보기

$\sin\theta = \frac12$인 각은 $\frac{\pi}{6}$과 $\frac{5\pi}{6}$이 있고, 여기에 $2\pi$의 정수배를 더한 것도 모두 답이다. 계산기의 $\sin^{-1}(0.5)$는 이 중 $\frac{\pi}{6}$ 하나만 내놓는다. 답이 여럿이면 함수가 될 수 없으므로 “대표 답” 하나를 고르도록 범위를 정해 둔 것이다.

점 $(-1, -1)$의 방향도 같은 문제를 겪는다. 기울기 $y/x = 1$의 아크탄젠트는 $\frac{\pi}{4}$로, $(1, 1)$ 쪽을 가리킨다. 부호 두 개가 나눗셈에서 지워져 사분면을 잃었다. atan2(-1, -1)은 두 좌표를 따로 받아 $-\frac{3\pi}{4}$, 즉 왼쪽 아래를 정확히 돌려준다.

정의

역함수는 일대일 함수에만 있으므로, 삼각함수의 정의역을 값이 한 번씩만 나오는 구간으로 자른다¹.

$그림$

왼쪽에서 가로선 $y = 1/2$은 사인 그래프와 끝없이 많이 만난다. 굵게 칠한 $[-\pi/2, \pi/2]$ 부분과는 $\pi/6$에서 한 번만 만난다. 그 굵은 부분을 직선 $y = x$에 대해 뒤집은 것이 오른쪽의 $\arcsin x$다².

정의

함수	정의역	치역(돌려주는 각)	뜻
$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$[-\pi/2, \pi/2]$	$\sin\theta = x$인 그 구간의 $\theta$
$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$	$\cos\theta = x$인 그 구간의 $\theta$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$(-\pi/2, \pi/2)$	$\tan\theta = x$인 그 구간의 $\theta$

$\arcsin$을 $\sin^{-1}$로도 쓴다. $1/\sin$과 헷갈리지 않도록 이 볼트에서는 $\arcsin$으로 쓴다.

atan2. $(x, y) \ne (0, 0)$에 대해 $\operatorname{atan2}(y, x)$는 점 $(x, y)$의 방향각을 $(-\pi, \pi]$에서 돌려준다. $x > 0$이면 $\arctan(y/x)$와 같고, 나머지 사분면은 부호를 보고 $\pm\pi$를 더한다.

일반해. $\sin\theta = s$ ($\vert s\vert \le 1$)의 모든 해는 $\theta = \arcsin s + 2\pi k$ 또는 $\theta = \pi - \arcsin s + 2\pi k$ ($k$는 정수)다. 두 번째 꼴은 $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$에서 온다¹.

두 가지 관계가 자주 쓰인다. 모두 $\vert x\vert \le 1$에서 맞는다.

$\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$. 각 $\theta = \arcsin x$에 대해 $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta = x$이고, $\frac{\pi}{2} - \theta$가 $[0, \pi]$에 들기 때문이다.
$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. $\theta = \arccos x \in [0, \pi]$($\in$은 “~에 속한다”)에서 $\sin\theta \ge 0$이고 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - x^2$이기 때문이다.

예제

$[0, 2\pi)$에서 $\sin\theta = \frac12$을 푼다.

대표 답: $\arcsin\frac12 = \frac{\pi}{6}$.
대칭 답: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
범위 맞추기: 둘 다 $[0, 2\pi)$ 안이고 $2\pi$를 더하거나 빼면 밖으로 나간다. 답은 $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$.

검증: 치역과 되돌리기(무작위 1만 개), 두 관계식, $[0, 2\pi)$의 72만 격자에서 해가 두 개뿐임, atan2, 오해의 값, 코사인 유사도의 부동소수점 문제 — 15_inverse-trig_verify.py

활용

방향 구하기. 게임에서 적이 플레이어를 바라보게 하려면 angle = atan2(py - ey, px - ex)를 쓴다. 로봇의 진행 방향, 마우스 방향, 극좌표 변환도 모두 atan2다.
두 벡터 사이의 각. $\theta = \arccos\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{u}\Vert \,\Vert \mathbf{v}\Vert }$($\lVert\cdot\rVert$는 벡터의 길이)로 구한다(선형대수학의 내적). 부동소수점 오차 때문에 같은 벡터끼리도 분수 값이 $1.0000000000000002$처럼 1을 넘을 수 있고, 그러면 math.acos가 ValueError를 낸다. 값을 $[-1, 1]$로 잘라서 넣는다³.
삼각형의 세 변에서 각을 구할 때 코사인 법칙과 $\arccos$을 함께 쓴다.
알고리즘에서: 원점에서 본 두 점 $p = (p_x, p_y)$, $q = (q_x, q_y)$의 각도 순서만 필요하면 atan2 대신 외적 $p_x q_y - p_y q_x$의 부호를 본다. 정수 좌표면 곱셈과 뺄셈뿐이라 오차가 없다. 다만 점들이 모두 180도 미만의 범위 안에 있어야 이 비교로 순서가 맞는다(계산 기하 기초).

연결

선수: 삼각함수, 역함수(정의역을 잘라 역함수를 만드는 방법)
이어지는 개념: 극좌표와 매개변수 곡선의 $\theta = \operatorname{atan2}(y, x)$

자주 하는 오해

“arcsin(sin x) = x다”

틀렸다. 역함수라서 되돌리면 제자리일 것 같다. 하지만 $\arcsin$은 $[-\pi/2, \pi/2]$ 안의 각만 돌려준다. $x = \frac{2\pi}{3}$이면 $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$이고 $\arcsin\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\pi}{3}$이라 원래 각이 아니다. $\arcsin(\sin x) = x$는 $x$가 그 구간 안에 있을 때만 맞는다. 반대 방향인 $\sin(\arcsin y) = y$는 $\vert y\vert \le 1$에서 늘 맞는다.

$그림$

회색 띠 $[-\pi/2, \pi/2]$ 안에서만 $\arcsin(\sin x)$가 점선 $y = x$와 겹친다. 띠 밖에서는 $-\pi/2$와 $\pi/2$ 사이를 지그재그로 오갈 뿐이라 $x$로 돌아오지 않는다².

확인 문제

C1 arcsin의 정의역과 치역을 쓰고, 치역을 그 구간으로 제한하는 이유를 설명하라.

답: 정의역 $[-1, 1]$, 치역 $[-\pi/2, \pi/2]$. 사인은 실수 전체에서 일대일이 아니라 역함수가 없다. $[-\pi/2, \pi/2]$에서는 순증가라 일대일이고 $[-1, 1]$의 모든 값을 한 번씩 낸다.

C2 [0, 2π)에서 sin θ = 1/2의 해를 모두 구하고, arcsin(1/2)의 값과 비교하라.

답: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$. $\arcsin\frac12 = \frac{\pi}{6}$로 그중 하나만 돌려준다. 나머지는 $\pi - \arcsin\frac12$로 구한다.

흔한 오답: $\frac{\pi}{6}$ 하나만 쓰는 것.

C3 점 (−1, −1)의 방향각을 arctan(y/x)와 atan2(y, x)로 각각 구하고, 어느 쪽이 맞는지와 그 이유를 쓰라.

답: $\arctan(1) = \pi/4$(오른쪽 위를 가리켜 틀림), $\operatorname{atan2}(-1, -1) = -3\pi/4$(왼쪽 아래, 맞음). $y/x$를 계산하는 순간 두 부호가 지워져 제1사분면과 제3사분면을 구별할 수 없다. atan2는 두 부호를 따로 본다.

OpenStax, Precalculus 2e, 6.3절 “Inverse Trigonometric Functions”, 일반해는 7.5절 “Solving Trigonometric Equations” ↩ ↩²
15_inverse-trig_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값($\arcsin(1/2) = \pi/6$, 그림에 찍은 해에서 모두 $\sin\theta = 1/2$, $\arcsin(\sin\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$)을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
atan2는 C·파이썬·자바스크립트 등 대부분의 수학 라이브러리에 있는 함수로, 인자 순서가 $(y, x)$다. 코사인 유사도가 1을 넘는 벡터 $(-0.4, 0.5, 0.2)$는 검증 코드로 찾아 확인했다. ↩

함수	정의역	치역(돌려주는 각)	뜻
\(\arcsin x\)	\([-1, 1]\)	\([-\pi/2, \pi/2]\)	\(\sin\theta = x\)인 그 구간의 \(\theta\)
\(\arccos x\)	\([-1, 1]\)	\([0, \pi]\)	\(\cos\theta = x\)인 그 구간의 \(\theta\)
\(\arctan x\)	\(\mathbb{R}\)	\((-\pi/2, \pi/2)\)	\(\tan\theta = x\)인 그 구간의 \(\theta\)