사용 개념: 로그의 법칙 \(\log_b(x^r) = r \log_b x\), 지수함수의 성장 모형 \(a \cdot b^t\).
이 방법을 떠올리는 신호는 모르는 수가 지수 자리에 있는 식이다. “몇 번”, “몇 달 뒤”, “몇 배가 되는 때”를 묻는 문제가 대개 그렇다. 풀이는 늘 같은 네 하위목표로 나뉜다1.
- 식 세우기: 모르는 수를 지수에 둔 식을 쓴다.
- 지수 항만 남기기: 곱해진 상수를 나눠 \(b^{(\cdots)} = c\) 꼴로 만든다.
- 로그로 지수 끌어내리기: 양변에 로그(보통 \(\ln\))를 취하고 \(\ln(b^t) = t \ln b\)를 쓴다.
- 계산하고 확인하기: 값을 구하고, 가까운 정수 지수로 크기가 맞는지 본다.
문제 1 · 완전한 풀이
서비스 사용자가 매달 15%씩 는다. 사용자가 지금의 10배가 되는 것은 몇 달 뒤인가?
- 식 세우기: 지금 사용자를 \(P\)라 하면 \(t\)달 뒤 \(P \cdot 1.15^t\). 조건은 \(P \cdot 1.15^t = 10P\).
- 지수 항만 남기기: 양변을 \(P\)로 나누면 \(1.15^t = 10\). 처음 사용자 수와 무관하다.
- 로그로 지수 끌어내리기: \(t \ln 1.15 = \ln 10\)이므로 \(t = \dfrac{\ln 10}{\ln 1.15}\).
- 계산하고 확인하기: \(t \approx 16.48\)달. \(1.15^{16} \approx 9.36\), \(1.15^{17} \approx 10.76\)이라 16과 17 사이가 맞다.
문제 2 · 마지막 하위목표만 빈칸
\(5 \cdot 3^x = 200\)을 풀라.
- 식 세우기: 주어진 그대로 \(5 \cdot 3^x = 200\).
- 지수 항만 남기기: \(3^x = 40\).
- 로그로 지수 끌어내리기: \(x \ln 3 = \ln 40\).
- 계산하고 확인하기: __
답
\(x = \dfrac{\ln 40}{\ln 3} \approx 3.358\). \(3^3 = 27 < 40 < 81 = 3^4\)이므로 3과 4 사이가 맞다.
문제 3 · 하위목표 절반이 빈칸
\(2^{x+1} = 3^x\)을 풀라.
- 식 세우기: 주어진 그대로.
- 지수 항만 남기기: 양변이 이미 지수 항 하나씩이다.
- 로그로 지수 끌어내리기: __
- 계산하고 확인하기: __
답
- 양변에 \(\ln\)을 취하면 \((x + 1)\ln 2 = x \ln 3\).
- \(x\)가 있는 항을 모으면 \(x(\ln 3 - \ln 2) = \ln 2\)이므로 \(x = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.5} \approx 1.710\). 확인하면 \(2^{2.710} \approx 6.54\), \(3^{1.710} \approx 6.54\)로 같다.
문제 4 · 독립 문제
성공 확률이 0.9인 독립 시도가 \(n\)번 연속 모두 성공할 확률이 \(10^{-6}\)보다 작아지는 가장 작은 \(n\)은 얼마인가? 1000번 연속 모두 성공할 확률은 대략 10의 몇 제곱인가?
답
\(0.9^n < 10^{-6}\)의 양변에 \(\ln\)을 취하면 \(n \ln 0.9 < -6 \ln 10\)이다. \(\ln 0.9 < 0\)이므로 나누면 부등호가 뒤집혀 \(n > \dfrac{6 \ln 10}{-\ln 0.9} \approx 131.13\). 가장 작은 정수는 \(n = 132\)다.
1000번 연속은 \(0.9^{1000} = 10^{1000 \log_{10} 0.9} \approx 10^{-45.76}\)이다. 그대로 곱하면 매우 작은 수지만, 로그로 보면 지수만 계산하면 된다.
흔한 오답: 음수 \(\ln 0.9\)로 나눌 때 부등호를 뒤집지 않아 “\(n < 131.13\)“이라고 하는 것.
변형 문제
문제 1에서 사용자가 두 배가 되는 데는 몇 달이 걸리는가? 성장률 \(r\)이 작을 때 두 배 시간을 빠르게 어림하는 방법도 생각해 보라.
답
\(1.15^t = 2\)에서 \(t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1.15} \approx 4.96\)달. 성장률이 작으면 \(\ln(1 + r) \approx r\)이므로 \(t \approx \dfrac{0.693}{r}\)이다. 실무에서는 나누기 쉬운 72를 써서 “72 ÷ (퍼센트)”로 어림한다(72의 법칙). \(72 / 15 = 4.8\)달로 실제 값과 가깝다2.