대학수학 · Hong-Iron

교재: OpenStax Precalculus 2e, College Algebra 2e (공개 교재)

먼저 알아야 할 것

없다. 공학수학의 시작점이다.

1단원 · 함수

읽기 전에

같은 식 \(x^2\)인데 한쪽은 출력에서 입력을 되찾을 수 있고 다른 쪽은 없다. 두 함수는 무엇이 다를까? → 역함수
\(f(x - 3)\)의 그래프는 \(f(x)\)보다 왼쪽에 있을까, 오른쪽에 있을까? → 함수의 변환과 합성
3차 방정식은 근을 몇 개까지 가질 수 있을까? 그 이유는? → 다항식과 방정식

번호	개념	한 줄	개념 코드	연습
01	함수	입력 하나에 출력 하나를 짝짓는 규칙. 정의역·공역·치역	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
02	함수의 변환과 합성	그래프를 옮기고 늘이고 뒤집기, 함수를 이어 붙이기	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
03	역함수	출력에서 입력을 되찾는 함수. 일대일일 때만 있다	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
04	다항식과 방정식	인수정리와 근의 공식. n차 방정식의 근은 n개 이하	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—

떠올려 보기: 노트를 닫고 함수·합성·역함수의 정의를 쓴 뒤, 역함수가 없는 함수를 고쳐 역함수를 만드는 예를 하나 적어 본다.

2단원 · 지수와 로그

읽기 전에

두께 0.1 mm 종이를 42번 접으면 두께가 책상 높이, 63빌딩, 달까지의 거리 중 어디에 가까울까? → 지수함수
정렬된 10억 개 자료에서 이진 탐색은 대략 몇 번 비교할까? → 로그
입력을 두 배로 늘렸더니 실행 시간이 네 배가 됐다. 입력을 열 배로 늘리면 시간은 몇 배일까? → 로그함수와 로그 스케일

번호	개념	한 줄	개념 코드	연습
05	거듭제곱과 지수법칙	곱은 지수의 합, 거듭제곱은 지수의 곱. 크기 어림	검증	—
06	지수함수	일정 비율로 거듭 곱해지는 성장. 자연상수 e (무거움)	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
07	로그	몇 번 곱해야 하는지 답하는 수. 곱을 합으로 바꾼다 (무거움)	검증	로그 계산 예제 사다리
08	로그함수와 로그 스케일	아주 느리게 자라는 함수. 비율을 등간격으로 보는 눈금	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
09	거듭제곱함수와 지수함수 비교	가르는 질문: 변수가 밑에 있는가, 지수에 있는가	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
10	진법과 자릿수	2진·16진 변환. n의 자릿수는 ⌊log_b n⌋ + 1	그림1 · 그림 코드 · 검증	—

떠올려 보기: 지수법칙 네 개를 쓰고 각각이 어느 로그 법칙이 되는지 짝지은 뒤, “변수가 밑에 있는가, 지수에 있는가”로 가르는 예를 두 개씩 든다.

3단원 · 삼각함수

읽기 전에

math.sin(30)을 실행하면 0.5가 나올까? → 각과 라디안
직각삼각형에는 120°인 각이 없는데, sin 120°라는 값은 있을까? → 삼각함수
소리를 1초에 8,000번 재서 저장하면 7,000 Hz 소리는 어떻게 들릴까? → 사인파

번호	개념	한 줄	개념 코드	연습
11	각과 라디안	반지름 길이의 호가 만드는 각이 1라디안	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
12	삼각함수	단위원 위 점의 좌표가 (cos, sin). 2π마다 반복 (무거움)	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
13	사인파	진폭·주파수·위상 세 수로 순수한 진동을 나타낸다	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
14	삼각함수 항등식	덧셈정리 하나에서 배각·반각·곱→합 공식이 모두 나온다 (무거움)	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	삼각함수 항등식 예제 사다리
15	역삼각함수	비율에서 각을 되찾는다. 정의역을 잘라야 함수가 된다. atan2	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
16	사인 법칙과 코사인 법칙	직각이 아닌 삼각형의 변과 각. 코사인 법칙은 피타고라스의 일반화	그림1 · 그림 코드 · 검증	—

떠올려 보기: 노트를 닫고 단위원 그림 하나에 sin, cos, tan을 표시한 뒤, 덧셈정리에서 배각 공식과 곱→합 공식을 끌어내 본다.

4단원 · 평면과 복소수

읽기 전에

복소수 i를 거듭 곱하면 평면에서 점이 어떻게 움직일까? → 복소수의 극형식과 오일러 공식
√(−4)·√(−9)는 6일까, −6일까? → 복소수
같은 원을 식 하나로 쓸 때와 시각 t의 함수로 쓸 때, 무엇이 다를까? → 극좌표와 매개변수 곡선

번호	개념	한 줄	개념 코드	연습
17	극좌표와 매개변수 곡선	점을 (거리, 각)으로, 곡선을 시간에 따른 점의 이동으로	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—
18	복소수	i² = −1을 더한 수. 평면 위의 점	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
19	복소수의 극형식과 오일러 공식	e^iθ = cos θ + i sin θ. 복소수 곱은 회전과 확대 (무거움)	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—

떠올려 보기: 복소수 곱셈을 전개(대수)와 늘이기·돌리기(기하) 두 가지로 설명하고, 오일러 공식에서 덧셈정리가 나오는 과정을 적어 본다.

5단원 · 수열과 합

읽기 전에

1 + 2 + … + 100을 하나씩 더하지 않고 구하는 방법은? → 수열과 합의 기호
꽉 차면 두 배로 늘리는 배열에 원소 1,000개를 넣으면 복사는 모두 몇 번일까? → 등비급수

번호	개념	한 줄	개념 코드	연습
20	수열과 합의 기호	등차·등비수열과 Σ 기호 다루기	그림1 · 그림 코드 · 검증	—
21	등비급수	1 + r + … + rⁿ⁻¹의 닫힌 꼴. \|r\| < 1이면 무한합이 수렴	그림1 · 그림2 · 그림 코드 · 검증	—

떠올려 보기: 등차·등비수열의 합 공식을 증명(짝 맞추기, rS − S)과 함께 쓰고, 각각 반복문 비용과 동적 배열 비용에 연결해 본다.

다른 과목과의 연결

덧셈정리 ↔ 복소수 곱 ↔ 회전 행렬 (선형대수학): 세 가지 모두 ‘각을 더하면 회전이 합성된다’를 다른 언어로 쓴 것
사인파 ↔ 파동과 빛 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): 빛의 파동 s(t) = A sin(2πft + φ)
거듭제곱함수와 지수함수 비교 ↔ 점대점 링크 (4-1학기 컴퓨터 통신): 완전 연결 링크 수 n(n−1)/2는 거듭제곱 증가
사인 법칙과 코사인 법칙 ↔ 양안 시차 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): 시차각과 거리의 삼각법
로그함수와 로그 스케일 ↔ 휘도와 조도 (4-1학기 휴먼 인터페이스 미디어): 웨버 대비와 비율로 느끼는 감각
진법과 자릿수 ↔ 트리 칸 번호 ↔ 2진법 자릿수 (알고리즘 3.개념집): 배열 트리에서 칸 번호의 비트가 뿌리에서 그 칸까지의 길

흐름

점선 테두리는 아직 작성하지 않은 개념이다.

graph TD
  n01["01 함수"]
  n02["02 함수의 변환과 합성"]
  n03["03 역함수"]
  n04["04 다항식과 방정식"]
  n05["05 거듭제곱과 지수법칙"]
  n06["06 지수함수"]
  n07["07 로그"]
  n08["08 로그함수와 로그 스케일"]
  n09["09 거듭제곱함수와 지수함수 비교"]
  n10["10 진법과 자릿수"]
  n11["11 각과 라디안"]
  n12["12 삼각함수"]
  n13["13 사인파"]
  n14["14 삼각함수 항등식"]
  n15["15 역삼각함수"]
  n16["16 사인 법칙과 코사인 법칙"]
  n17["17 극좌표와 매개변수 곡선"]
  n18["18 복소수"]
  n19["19 복소수의 극형식과 오일러 공식"]
  n20["20 수열과 합의 기호"]
  n21["21 등비급수"]
  n01 --> n02
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  n05 --> n21
  classDef todo stroke-dasharray: 4 3