복소수 · Hong-Iron

요약

제곱해서 −1이 되는 수를 하나 새로 들여와 만든 수의 체계다. 실수가 한 줄로 늘어선 수직선이라면, 복소수는 평면 위의 점이다. 이 확장 덕분에 모든 다항식이 근을 갖게 되고, 회전과 진동을 곱셈 하나로 다룰 수 있게 된다. 대신 복소수 사이에는 “어느 쪽이 더 큰가”라는 순서가 없다.

예시로 보기

$x^2 + 2x + 5 = 0$은 판별식이 $4 - 20 = -16 < 0$이라 실수 근이 없다. 제곱해서 $-1$이 되는 수 $i$를 허락하면 $\sqrt{-16} = 4i$이므로 근의 공식이 그대로 통한다.

\[x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i\]

$-1 + 2i$를 평면의 점 $(-1, 2)$로 그리면, 두 근은 가로축에 대해 대칭인 두 점이다. 가로축이 실수부, 세로축이 허수부다.

$그림$

두 근은 가로축을 거울로 두고 마주 본다. 원점에서 점까지의 거리는 아래에서 절댓값 $\vert z\vert$라 부르며, 여기서는 $\sqrt5$다¹.

계산은 $i^2 = -1$만 기억하고 다항식처럼 한다.

\[(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i\]

정의

$i^2 = -1$인 수 $i$(허수 단위)와 실수 $a$, $b$로 된 $z = a + bi$를 복소수라 하고, 그 집합을 $\mathbb{C}$로 쓴다².

실수부 $\operatorname{Re} z = a$, 허수부 $\operatorname{Im} z = b$. $b = 0$이면 실수, $a = 0$이면 순허수다.
덧셈·곱셈: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$, $\ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
켤레: $\bar z = a - bi$. 절댓값: $\vert z\vert = \sqrt{a^2 + b^2}$ (원점까지의 거리). 둘 사이에 $z\bar z = \vert z\vert ^2$가 맞는다.
나눗셈: 분모의 켤레를 위아래에 곱해 분모를 실수로 만든다. $\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\bar w}{\vert w\vert ^2}$ ($w \ne 0$)

켤레근

계수가 모두 실수인 다항식 $p$에 대해 $p(\bar z) = \overline{p(z)}$다. 따라서 $z$가 근이면 $\bar z$도 근이다. 실수가 아닌 근은 켤레 쌍으로 나온다³.

증명

켤레는 덧셈과 곱셈을 보존한다: $\overline{z + w} = \bar z + \bar w$, $\overline{zw} = \bar z\,\bar w$ (정의대로 전개해 확인). 실수 $c$는 $\bar c = c$다. 그래서 $\overline{\sum c_k z^k} = \sum c_k \bar z^k$. $p(z) = 0$이면 $p(\bar z) = \bar 0 = 0$. ∎

복소수에는 크기 순서가 없다. 실수처럼 “양수끼리 곱하면 양수”인 순서를 매겼다고 하자. $i > 0$이면 $i \cdot i = -1 > 0$이라 모순이다. $i < 0$이면 $-i > 0$이고 $(-i)(-i) = -1 > 0$이라 역시 모순이다. 그래서 $\vert z\vert$로 크기를 비교할 수는 있어도 $z$ 자체의 대소는 없다.

예제

$(1 + 2i)(3 - i)$와 $\dfrac{1 + 2i}{3 - i}$를 계산한다.

곱셈 전개: $3 - i + 6i - 2i^2 = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i$.
나눗셈, 켤레 곱하기: $\dfrac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}$.
분자와 분모: 분자 $3 + i + 6i + 2i^2 = 1 + 7i$, 분모 $9 + 1 = 10$.
결과: $\dfrac{1 + 7i}{10} = 0.1 + 0.7i$. 확인: $(0.1 + 0.7i)(3 - i) = 0.3 - 0.1i + 2.1i + 0.7 = 1 + 2i$.

검증: 유리수 복소수로 정확히 계산한 곱·나눗셈·켤레, $-1 \pm 2i$, 실수 계수 다항식 2,000개에서 $p(\bar z) = \overline{p(z)}$, 오해의 $-6$ — 18_complex-numbers_verify.py

활용

파이썬. 허수 단위를 공학 관례대로 j로 쓴다: (1j)**2 == -1, abs(3+4j) == 5.0. 음수의 제곱근은 math.sqrt 대신 cmath.sqrt를 쓴다.
신호와 회로. 교류 회로와 신호 처리는 진폭과 위상을 복소수 하나로 묶어 계산한다(페이저). 푸리에 변환의 결과도 복소수다.
양자 컴퓨팅. 큐비트의 상태는 복소수 진폭으로 적고, 절댓값의 제곱이 측정 확률이다⁴.
다항식. 복소수까지 허용하면 $n$차 다항식은 중복을 세어 근이 정확히 $n$개다(다항식과 방정식의 대수학의 기본정리). 행렬의 고윳값이 복소수로 나오는 것도 이 때문이다(고윳값과 고유벡터).

연결

선수: 다항식과 방정식
이어지는 개념: 복소수의 극형식과 오일러 공식(복소수를 거리와 각으로 보기)

자주 하는 오해

“√(−4) · √(−9) = √36 = 6”

틀렸다. 실수에서 $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$를 써 왔으니 음수에도 될 것 같다. 이 규칙은 $a, b \ge 0$일 때만 맞는다. 실제로 $\sqrt{-4} = 2i$, $\sqrt{-9} = 3i$이므로 곱은 $6i^2 = -6$이다. 음수의 제곱근은 먼저 $i$를 꺼내서 계산하면 틀리지 않는다.

확인 문제

C1 (1 + 2i)(3 − i)와 (1 + 2i)/(3 − i)를 a + bi 꼴로 구하라.

답: $5 + 5i$와 $\dfrac{1 + 7i}{10}$.

흔한 오답: 나눗셈에서 분모의 켤레 대신 분모 자체를 곱하는 것. 켤레를 곱해야 분모가 실수 $\vert w\vert ^2$가 된다.

C2 계수가 실수인 이차방정식이 실수가 아닌 근을 가지면 두 근은 왜 서로 켤레인가?

답: 켤레가 덧셈과 곱셈을 보존하고 실수 계수는 켤레를 취해도 그대로라서 $p(\bar z) = \overline{p(z)}$다. $p(z) = 0$이면 $p(\bar z) = 0$이므로 $\bar z$도 근이다. 근의 공식으로 보면 $\pm\sqrt{D}$의 $\pm$가 켤레를 만든다.

C3 실수에서 쓰는 규칙 √a·√b = √(ab)가 복소수에서 깨지는 예를 들라.

답: $\sqrt{-4}\sqrt{-9} = (2i)(3i) = -6$인데 $\sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6$이다.

18_complex-numbers_plot.py로 그렸고, 그림에 쓴 값(두 근이 $x^2 + 2x + 5 = 0$을 만족, $\vert -1 + 2i\vert = \sqrt5$)을 같은 코드로 확인했다. ↩
OpenStax, Precalculus 2e, 3.1절 “Complex Numbers” ↩
OpenStax, Precalculus 2e, 3.6절 “Zeros of Polynomial Functions”(켤레근 정리) ↩
큐비트 상태 $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$에서 $\vert \alpha\vert ^2 + \vert \beta\vert ^2 = 1$이고 $\vert \alpha\vert ^2$가 0을 측정할 확률이라는 것은 양자 계산의 표준 서술이다(Nielsen & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 1.2절). ↩