진폭·주파수·위상 변조

요약

0과 1을 전파에 실으려면, 일정하게 출렁이는 바탕 물결(반송파)을 하나 정해 두고 그 물결의 한 가지 성질을 비트에 따라 바꾼다. 물결의 높이를 바꾸면 진폭 변조, 출렁이는 빠르기를 바꾸면 주파수 변조, 출렁임의 시작 시점을 밀면 위상 변조다. 물결 모양을 여러 가지로 늘리면 한 번에 여러 비트를 실을 수 있다. 대신 모양끼리 차이가 작아져 잡음에 더 쉽게 헷갈린다.

예시로 보기

라디오의 전파나 와이파이처럼 공기 중으로 보내는 신호는 물결 모양이어야 멀리 간다. 그런데 0과 1은 물결이 아니다. 그래서 보내는 쪽은 일정한 주파수로 출렁이는 물결을 만들어 두고, 이 물결을 비트에 맞춰 조금씩 바꾼다. 이 바탕 물결을 반송파(carrier)라 부른다. 비트를 실어 나르는 물결이라는 뜻이다.

물결 \(A\sin(2\pi f t + \theta)\)에서 바꿀 수 있는 것은 셋이다. \(A\)(진폭, 물결의 높이), \(f\)(주파수, 1초에 출렁이는 횟수), \(\theta\)(위상, 출렁임이 시작되는 시점의 밀림)다.

방법	바꾸는 것	예
진폭 변조	높이 \(A\)	1이면 물결을 보내고 0이면 끈다
주파수 변조	빠르기 \(f\)	900 MHz 대역에서 890 MHz는 0, 910 MHz는 1
위상 변조	시작 시점 \(\theta\)	0이면 위로 볼록하게 시작, 1이면 아래로 볼록하게 시작(반 바퀴 밀림)

같은 비트 1 0 1 1 0을 세 방법으로 실으면 다음과 같다.

진폭 변조는 0인 칸에서 물결이 꺼진다. 주파수 변조는 1인 칸에서 두 배 빠르게 출렁인다. 위상 변조는 높이와 빠르기가 늘 같고, 비트가 바뀌는 경계에서 물결이 뚝 끊겨 반대 방향으로 이어진다¹.

정해진 시간 동안 내보내는 물결 모양 하나를 심볼이라 부른다. 위의 예는 모두 심볼이 두 가지라 심볼 하나에 1비트를 싣는다.

높이를 네 단계(5, 3.5, 1.5, 0 V)로 나누고 각 단계에 00, 11, 01, 10을 붙이면, 심볼 하나에 2비트를 싣는다. 같은 시간에 두 배를 보낸다. 진폭만 여러 단계로 바꾸는 이 방법을 다단계 진폭 변조(4-ASK)라 부른다. 진폭과 위상을 함께 바꾸는 QAM(직교 진폭 변조)과는 다르다². 그렇다면 왜 100단계로 나누지 않을까? 단계 사이가 좁아지면 1.2 V와 1.5 V처럼 가까운 높이를 잡음 때문에 서로 헷갈리기 때문이다.

두 그림에 섞인 잡음의 크기는 같다. 높이가 2단계면 두 산이 멀리 떨어져 거의 틀리지 않는다. 4단계면 이웃 산의 꼬리가 점선(단계를 가르는 기준)을 넘어, 받은 값의 약 13%를 이웃 단계로 잘못 읽는다¹.

검증: 심볼 수와 비트 수, 데이터 속도, 카드 C3 — 39_digital-modulation_verify.py

정의

변조는 디지털 데이터를 아날로그 신호로 바꾼다(D-data → A-Signal). 반송파의 진폭, 주파수, 위상 중 하나를 데이터에 따라 바꾼다.

심볼이 \(M\)가지면 심볼 하나에 \(\lg M\)비트를 싣는다(\(\lg\)는 밑이 2인 로그, \(2^b = M\)인 \(b\)). 1초에 보내는 심볼 수를 \(S\)라 하면 데이터 속도는 그 둘의 곱이다³.

\[R = S \times \lg M \ \text{(bps)}\]

예: 위상 변조에서 두 가지 위상(Binary)은 1비트, 네 가지 위상(Quadrature)은 2비트를 싣는다. 1초에 심볼 100만 개를 보내면 각각 1 Mbps, 2 Mbps다.

통신 속도를 올리는 방법은 셋이다.

변조 방법을 개선한다. 예: 위상 변조의 심볼 수를 2 → 4 → 8로 늘린다.
더 높은 주파수 대역을 쓴다. 예: 100 MHz대 → 200 MHz대. 높은 대역일수록 넓은 대역폭을 얻기 쉬워 1초에 더 많은 심볼을 보낼 수 있다⁴.
여러 채널로 나눠 동시에 보낸다. 다중화 문서의 다채널 분할(splitting)이다.

아날로그 데이터를 그대로 실을 수도 있다. AM 라디오는 마이크가 만든 목소리 파형대로 반송파의 높이를 바꾼다. 이때는 0과 1이 없으므로 디지털 전송을 쓸 수 없다.

연결

선수: 신호와 변조, 디지털 전송
반송파의 주파수를 입력마다 다르게 잡으면 주파수 분할 다중화가 된다.
진폭 변조가 신호를 다른 주파수 자리로 옮기는 원리는 신호 및 시스템의 곱셈 성질과 진폭 변조에서 푸리에 변환으로 보인다. \(A\), \(f\), \(\theta\)는 대학수학 사인파의 세 값과 같다.
디지털 데이터를 물결 대신 높고 낮은 두 값으로 보내는 방법(유선): NRZ와 클럭 복구

자주 하는 오해

“심볼 수를 2 → 4 → 8로 늘리면 속도가 단계마다 두 배가 된다”

아니다. 심볼 수가 두 배가 되면 심볼 하나에 싣는 비트는 1개만 는다. 2 → 4 → 8가지는 1 → 2 → 3비트라서 속도는 1 : 2 : 3배다. 단계마다 두 배가 되려면 심볼 수를 제곱해야 한다(4 → 16 → 256). 그럴듯해 보이는 이유는 2 → 4 첫 단계에서는 실제로 두 배가 되기 때문이다. 확인은 \(\lg M\)을 계산하면 된다³.

확인 문제

C1 진폭 변조, 주파수 변조, 위상 변조가 반송파의 무엇을 바꾸는지 쓰고, 0과 1을 구별하는 예를 하나씩 들라.

답: 진폭 변조는 높이를 바꾼다(1이면 물결을 보내고 0이면 끈다). 주파수 변조는 출렁이는 빠르기를 바꾼다(890 MHz는 0, 910 MHz는 1). 위상 변조는 출렁임의 시작 시점을 민다(0이면 그대로, 1이면 반 바퀴 밀어 아래로 볼록하게 시작).

C2 진폭을 4단계로 나누면 같은 시간에 두 배를 보낼 수 있다. 그런데 왜 단계를 무한정 늘리지 않는가?

답: 단계가 많아지면 이웃 단계의 높이 차이가 작아진다. 잡음이 그 차이만큼만 신호를 흔들어도 받는 쪽이 다른 단계로 읽는다. 그래서 단계 수는 잡음의 크기가 정하는 한계가 있다.
흔한 오답: “장비가 비싸서”. 비용도 있지만, 근본적인 한계는 잡음과 단계 간격이다.

C3 (a) 1초에 심볼 2,400개를 보내고 심볼이 16가지인 모뎀의 데이터 속도는? (b) 심볼을 4가지에서 몇 가지로 늘려야 속도가 정확히 두 배가 되는가?

답: (a) 16가지는 \(\lg 16 = 4\)비트이므로 \(2{,}400 \times 4 = 9{,}600\) bps. (b) 4가지는 2비트다. 4비트가 되려면 \(2^4 = 16\)가지가 필요하다. 8가지(3비트)로는 1.5배뿐이다³.

그림 1은 반송파가 비트 한 칸에 3번 출렁이도록 줄여 그렸다. 890 MHz와 910 MHz처럼 가까운 두 주파수는 눈으로 구별되지 않아서, 주파수 변조의 1은 두 배 빠르게 그렸다. 그림 2의 잡음 크기(표준편차 0.6 V)는 설명용 가정이다. 39_digital-modulation_plot.py로 그렸고, 각 칸에서 반송파의 정해진 성질만 바뀌는 것과, 받은 값 2만 개씩에서 잘못 읽은 비율이 2단계 0.1% 미만, 4단계 5~20%(그림에서 12.8%)인 것을 같은 코드로 확인했다. ↩ ↩²
보통 QAM(직교 진폭 변조)은 진폭과 위상을 함께 바꾸는 방법을 가리킨다(예: 16-QAM). ↩
심볼 하나가 \(M\)가지 중 하나를 고르므로 \(\lg M\)비트를 나른다는 정의에서 나온다. 검증 코드로 계산했다. ↩ ↩² ↩³
같은 비율의 대역(예: 반송파의 10%)이 높은 주파수일수록 Hz로 넓다. ↩