날마다 적는 확진자 수나 시시각각 바뀌는 코인 가격처럼, 운에 따라 정해지는 값을 시간 순서대로 줄 세운 것이다. 값 하나하나를 따로 보지 않고 줄 전체를 한 덩어리로 보기 때문에 “오늘 값은 어제 값에 얼마나 끌려가는가”, “오래 지켜보면 얼마나 자주 높은 값에 머무는가”를 물을 수 있다. 대신 줄이 끝없이 이어져 따질 경우가 한없이 많다. 그래서 “오늘은 지난 일과 상관없다”거나 “오늘은 어제에만 달려 있다”처럼 단순한 약속을 둔 몇 가지 꼴을 주로 쓴다.
예시로 보기
주사위를 한 번 던지는 일은 확률변수 하나로 다 적는다. 날마다 바뀌는 확진자 수는 그렇게 적을 수 없다. 날마다 값이 하나씩 필요하고, 그 날들이 끝없이 이어진다.
\(i\)일째 확진자 수를 \(X_i\)라 하면 \(X_1, X_2, X_3, \dots\)라는 줄이 생긴다. 여기서 실험을 한 번 한 결과 \(\omega\)(오메가)는 숫자 하나가 아니라 끝없이 이어지는 수열 하나다.
| 결과 | 1일 | 2일 | 3일 | … |
|---|---|---|---|---|
| \(\omega_1\) | 100 | 150 | 130 | … |
| \(\omega_2\) | 200 | 300 | 400 | … |
\(X_i\)는 “결과 \(\omega\)의 \(i\)번째 숫자를 읽어라”는 규칙이다. 그래서 \(X_3(\omega_1) = 130\), \(X_2(\omega_2) = 300\), \(X_1(\omega_2) = 200\)이다.
시간이 띄엄띄엄하지 않고 이어져 있어도 똑같다. 시각 \(t\)의 비트코인 가격을 \(X(t)\)라 하면, 결과 \(\omega\) 하나는 0부터 끝없이 이어지는 가격 곡선 한 줄이다. \(X(3.7, \omega_1) = 3409\)는 “곡선 \(\omega_1\)의 시각 3.7에서의 높이가 3409”라는 뜻이다.
한 시점씩 보면 같아도 줄로 보면 다르다. 0과 1을 적어 나가는 줄 두 가지를 견준다1.
- A: 칸마다 동전을 새로 던진다.
- B: 열 번 중 아홉 번은 바로 앞 칸의 값을 그대로 따라 적고, 한 번은 뒤집는다.
어느 칸 하나만 떼어 보면 둘 다 1이 나올 확률이 절반이다. 그런데 같은 값이 이어지는 길이는 A가 평균 2칸, B가 평균 10칸이다. 칸 하나의 분포만 알아서는 이 차이를 볼 수 없다. 줄 전체를 한꺼번에 다뤄야 보인다.
정의
확률 과정은 시간으로(또는 순서로) 번호를 붙인 확률변수들의 줄이다.
기호로 쓰면 \(\{X_t : t \in T\}\)다. \(T\)는 번호로 쓰는 시간들의 모임이고, 번호 \(t\)마다 \(X_t\)는 결과 \(\omega\)를 받아 실수 하나를 내는 확률변수 \(X_t : \Omega \to \mathbb{R}\)이다. \(\Omega\)(대문자 오메가)는 나올 수 있는 결과 \(\omega\)를 모두 모은 것(표본공간)이다.
- 번호가 \(1, 2, 3, \dots\)처럼 정수면 이산 시간 과정이고 \(\{X_1, X_2, X_3, \dots\}\)로 쓴다.
- 번호가 0 이상의 모든 실수면 연속 시간 과정이고 \((X(t))_{t \in \mathbb{R}^+}\)로 쓴다(\(\mathbb{R}^+\)는 0 이상의 실수).
시간이 이어져 있는가와 값이 이어져 있는가를 따로 따지면 네 가지가 나온다.
| 값이 이어진다 (연속 값) | 값이 띄엄띄엄하다 (이산 값) | |
|---|---|---|
| 연속 시간 | (a) 비트코인 가격 | (b) 가게에 지금까지 온 손님 수 |
| 이산 시간 | (c) 날마다 정오에 잰 기온 | (d) 날마다 센 확진자 수 |
확률변수 여러 개와 무엇이 다른가
확률변수 \(X_1, \dots, X_n\)을 한꺼번에 다루는 일은 이미 해 봤다. 확률 과정은 두 가지가 다르다.
- 줄이 끝나지 않는다. 결과 하나가 값 \(x_1, x_2, \dots\)가 끝없이 이어진 수열이고, 표본공간은 그런 수열을 모두 모은 것이다.
- 번호를 시간으로 읽는다. 그래서 묻는 것이 달라진다.
- 앞뒤 값이 서로 어떻게 얽혀 있는가. 지금까지의 값으로 앞으로의 값을 얼마나 맞힐 수 있는가.
- 오래 지켜보면 어떻게 되는가. 예: 주가가 3000보다 높은 시간은 전체의 몇 분의 몇인가.
대표적인 세 가지
줄이 끝없이 길면 값들이 얽히는 방식도 끝없이 많다. 그래서 얽히는 방식을 단순하게 약속한 과정을 주로 쓴다.
| 이름 | 시간 | 약속 | 한마디로 |
|---|---|---|---|
| 베르누이 과정 | 이산 | \(X_i\)는 앞의 \(X_{i-1}, \dots, X_1\)과 독립이다 | 오늘은 지난 일과 상관없다 |
| 포아송 과정 | 연속 | 시각 0부터 \(t\)까지 일어난 일과 \(t\)부터 \(t + a\)까지 일어나는 일이 독립이다 | 베르누이 과정을 이어진 시간으로 옮긴 것 |
| 마르코프 연쇄 | 이산 | \(X_i\)는 바로 앞 \(X_{i-1}\)에 달려 있고, \(X_{i-1}\)을 알고 나면 그보다 앞의 값은 더 알려 주는 것이 없다 | 오늘은 어제에만 달려 있다 |
flowchart LR
BP["베르누이 과정: 오늘은 지난 일과 상관없다"] -->|"시간을 이어 붙인다"| PP["포아송 과정"]
BP -->|"어제 값에는 달려 있게 푼다"| MC["마르코프 연쇄: 오늘은 어제에만 달려 있다"]
베르누이 과정이 가장 단순하고, 나머지 둘은 거기서 한 가지씩만 바꾼 것이다. 위 예시의 A가 베르누이 과정, B가 마르코프 연쇄다.
마르코프 연쇄의 약속을 “오늘은 그저께와 독립이다”로 줄여 읽으면 틀린다. 그저께 값은 어제를 거쳐 오늘에 닿는다. 그래서 어제 값을 모를 때는 그저께 값도 오늘을 맞히는 데 도움이 된다. 어제 값을 알고 난 뒤에야 그저께 값이 더 알려 주는 것이 없어진다1.
연결
- 선수: 확률변수와 분포(값 하나를 내는 규칙), 독립
- 가장 단순한 과정을 자세히: 베르누이 과정
- 오늘이 어제에만 달려 있는 과정: 마르코프 연쇄
- 포아송 과정에서 정해진 시간 동안 일어난 횟수의 분포: 포아송 분포
확인 문제
C1 다음 넷을 시간(이산·연속)과 값(이산·연속)으로 나눠라. ㉠ 1초마다 서버에 요청이 왔는지 0·1로 적은 줄 ㉡ 매 순간의 방 온도 ㉢ 달마다 잰 몸무게 ㉣ 매 순간 통화 중인 전화 회선 수
답: ㉠ 이산 시간·이산 값, ㉡ 연속 시간·연속 값, ㉢ 이산 시간·연속 값, ㉣ 연속 시간·이산 값.
이유: 시간은 “언제 값을 적는가”로, 값은 “적는 값이 셀 수 있게 띄엄띄엄한가”로 가른다. 회선 수는 언제든 바뀔 수 있지만 값은 0, 1, 2, …뿐이다.
C2 확률변수 \(X_1, \dots, X_n\) 묶음을 이미 다뤘는데 왜 확률 과정을 따로 배우는가? 다른 점 두 가지를 쓰라.
답: ① 줄이 끝없이 이어진다. 결과 하나가 끝없는 수열이고 표본공간은 그런 수열 전체다. ② 번호를 시간으로 읽는다. 그래서 앞뒤 값이 어떻게 얽히는가(앞날 맞히기)와 오래 지켜본 모습(주가가 3000 위에 있는 시간의 비율)을 묻는다.
C3 “오늘은 어제에만 달려 있다”는 과정에서 오늘 값은 그저께 값과 독립인가? 열 번 중 아홉 번 앞 칸을 따라 적는 0·1 줄로 답하라.
답: 독립이 아니다. 그저께가 1이면 오늘이 1일 확률은 \(0.9 \times 0.9 + 0.1 \times 0.1 = 0.82\)다(둘 다 따라 적거나 둘 다 뒤집거나). 그저께를 모르면 0.5다.
이유: 그저께는 어제를 거쳐 오늘에 닿는다. 맞는 말은 “어제 값을 알고 나면 그저께 값은 더 알려 주는 것이 없다”이다. 어제가 1이면 그저께가 무엇이든 오늘이 1일 확률은 0.9다1.